Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,916

О ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЕ ФЕРМА

Сибгатуллин Э.С.
Сделана очередная попытка доказательства теоремы Ферма (Pierre de Fermat, 1601-1665). Для этой цели использованы теория неравенств, бином Ньютона, принцип доказательства по методу математической индукции. Аксиома индукции использована нетрадиционным образом.
Сделана очередная попытка доказательства теоремы Ферма (Pierre de Fermat, 1601-1665). Для этой цели использованы теория неравенств, бином Ньютона, принцип доказательства по методу математической индукции. Аксиома индукции использована нетрадиционным образом.

Теорема Ферма утверждает, что уравнение xn + yn = zn невозможно при целых положительных значениях x, y, z, если n>2 [4].

Ферма написал на полях против 8-й задачи II книги Диофанта «Разделить квадратное число на два других квадратных числа» следующие слова: «Разделить куб на два других куба, четвертую степень или вообще какую-либо степень выше второй на две степени с тем же обозначением невозможно, и я нашел воистину замечательное доказательство этого, однако поля слишком узки, чтобы поместить его». Если Ферма и имел такое замечательное доказательство, то за последующие три столетия напряженных исследований такое доказательство не удалось получить [4]. Простота формулировки этой теоремы и загадочные слова о «чудесном доказательстве» ее привели к широкой популярности теоремы среди не математиков и к образованию целой корпорации «ферматистов», у которых, по словам Дэвенпорта, «смелость значительно превосходит их математические способности». Поэтому великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств [2]. Сам Ферма оставил доказательство этой теоремы для четвертых степеней. Эйлер доказал Великую теорему для n=4 (способом, несколько отличным от способа Ферма), а спустя 20 лет- и для n=3. Куммер доказал эту теорему для некоторого класса простых показателей n. Как отмечено в [2], в настоящее время справедливость Великой теоремы Ферма проверена для всех показателей меньше 5500. Ниже приведен вариант простого доказательства этой теоремы; автор надеется, что этот вариант имеет оригинальный и общий характер.

Пусть a, b, c, n - натуральные числа, x≥0 - целое число. Для определенности примем, что a≤b.

Содержание Великой теоремы Ферма (an+bncn при n>2) запишем в виде следующих неравенств:

(b+x) n<an+bn< (b+x+1) n, n>2 .                   (1)

Здесь

.

В результате вычислительных экспериментов замечено, что:

  • зависимости x=x(a, b, n) в виде одного уравнения не существует;
  • для заданного значения n при достаточно большом значении разности (b-a) значение x равняется нулю;
  • для заданных значений a и b при достаточно большом значении n значение x равняется нулю.

Исходя из вышеприведенных замечаний, рассмотрим частный случай неравенств (1):

bn<an+bn<(b+1) n.                                         (2)

Вместо (2) можно рассмотреть следующие неравенства:

bn<an+bn 2bn <(b+1) n.                                (3)

Справедливость первого и второго неравенств из (3) не вызывает сомнений. Рассмотрим третье неравенство из (3):

2bn <(b+1) n.                                                  (4)

Используя формулу бинома Ньютона [1], (4) запишем в виде:

2bn <bn +nbn-1 +0,5n(n-1)bn-2 +...+1.

Это неравенство можно представить в следующем виде:

bn-1(b-n) <0,5n(n-1)bn-2 +...+1.                                  (5)

Правая часть неравенства (5) всегда больше нуля. Поэтому, при выполнении условия n³b неравенство (5) всегда имеет место. Следовательно, при выполнении условий:

n≥b≥a                                                             (6)

неравенства (2) всегда выполняются. Тем самым мы убеждаемся в справедливости теоремы Ферма для произвольных чисел, удовлетворяющих условиям (6).

Интересно отметить, что выполнение условий (6) обеспечивает справедливость теоремы Ферма и при n=2; при n=1 в (5) мы выходим из множества натуральных чисел.

Обратимся к принципу доказательства по методу полной (математической) индукции [1]. Пусть А(n) - зависящее от n € N утверждение (N- множество натуральных чисел). Если доказано, что:

а) А(n0)выполняется;

б) при условии, что А(n) справедливо для некоторого n, верно также А(n+1) (шаг индукции), то А(n)справедливо для всех n € N, nn0.

В рассматриваемом здесь случае А(n) - утверждение о справедливости теоремы Ферма. Для случая n0=3 это теорема доказана Эйлером; для произвольных n, n+1,...,, удовлетворяющих условиям (6), доказательство теоремы Ферма приведено выше. Учитывая достаточно произвольный характер n, n+1, удовлетворяющих условиям (6), на основе аксиомы индукции можно утверждать, на наш взгляд, что теорема Ферма верна и для всех n € N, n≥3.

Основное содержание этой работы депонировано в ВИНИТИ [3].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по высшей математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука, 1980. - 976 с.
  2. Самин Д. К. Сто великих ученых. - М.: Вече, 2003. - 592 с.
  3. Сибгатуллин Э. С. К доказательству теоремы Ферма. М., 2005. Деп. в ВИНИТИ,09.11.2005. №1447 - В2005. - 3 с.
  4. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. - М.: Наука, 1990. - 256 с.

Библиографическая ссылка

Сибгатуллин Э.С. О ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЕ ФЕРМА // Современные наукоемкие технологии. – 2006. – № 2. – С. 9-10;
URL: http://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=22379 (дата обращения: 29.05.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074