Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,916

ABOUT THE GREAT THEOREM THE FERMAT

Sibgatullin E.S.
Сделана очередная попытка доказательства теоремы Ферма (Pierre de Fermat, 1601-1665). Для этой цели использованы теория неравенств, бином Ньютона, принцип доказательства по методу математической индукции. Аксиома индукции использована нетрадиционным образом.
The regular attempt of the proof of the theorem Pierre de Fermat (1601-1665) is made. For this purpose the theory of inequalities, a binomial theorem, a principle of the proof on a method of a mathematical induction are used. The axiom of induction is used in a different way.
Сделана очередная попытка доказательства теоремы Ферма (Pierre de Fermat, 1601-1665). Для этой цели использованы теория неравенств, бином Ньютона, принцип доказательства по методу математической индукции. Аксиома индукции использована нетрадиционным образом.

Теорема Ферма утверждает, что уравнение xn + yn = zn невозможно при целых положительных значениях x, y, z, если n>2 [4].

Ферма написал на полях против 8-й задачи II книги Диофанта «Разделить квадратное число на два других квадратных числа» следующие слова: «Разделить куб на два других куба, четвертую степень или вообще какую-либо степень выше второй на две степени с тем же обозначением невозможно, и я нашел воистину замечательное доказательство этого, однако поля слишком узки, чтобы поместить его». Если Ферма и имел такое замечательное доказательство, то за последующие три столетия напряженных исследований такое доказательство не удалось получить [4]. Простота формулировки этой теоремы и загадочные слова о «чудесном доказательстве» ее привели к широкой популярности теоремы среди не математиков и к образованию целой корпорации «ферматистов», у которых, по словам Дэвенпорта, «смелость значительно превосходит их математические способности». Поэтому великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств [2]. Сам Ферма оставил доказательство этой теоремы для четвертых степеней. Эйлер доказал Великую теорему для n=4 (способом, несколько отличным от способа Ферма), а спустя 20 лет- и для n=3. Куммер доказал эту теорему для некоторого класса простых показателей n. Как отмечено в [2], в настоящее время справедливость Великой теоремы Ферма проверена для всех показателей меньше 5500. Ниже приведен вариант простого доказательства этой теоремы; автор надеется, что этот вариант имеет оригинальный и общий характер.

Пусть a, b, c, n - натуральные числа, x≥0 - целое число. Для определенности примем, что a≤b.

Содержание Великой теоремы Ферма (an+bncn при n>2) запишем в виде следующих неравенств:

(b+x) n<an+bn< (b+x+1) n, n>2 .                   (1)

Здесь

.

В результате вычислительных экспериментов замечено, что:

  • зависимости x=x(a, b, n) в виде одного уравнения не существует;
  • для заданного значения n при достаточно большом значении разности (b-a) значение x равняется нулю;
  • для заданных значений a и b при достаточно большом значении n значение x равняется нулю.

Исходя из вышеприведенных замечаний, рассмотрим частный случай неравенств (1):

bn<an+bn<(b+1) n.                                         (2)

Вместо (2) можно рассмотреть следующие неравенства:

bn<an+bn 2bn <(b+1) n.                                (3)

Справедливость первого и второго неравенств из (3) не вызывает сомнений. Рассмотрим третье неравенство из (3):

2bn <(b+1) n.                                                  (4)

Используя формулу бинома Ньютона [1], (4) запишем в виде:

2bn <bn +nbn-1 +0,5n(n-1)bn-2 +...+1.

Это неравенство можно представить в следующем виде:

bn-1(b-n) <0,5n(n-1)bn-2 +...+1.                                  (5)

Правая часть неравенства (5) всегда больше нуля. Поэтому, при выполнении условия n³b неравенство (5) всегда имеет место. Следовательно, при выполнении условий:

n≥b≥a                                                             (6)

неравенства (2) всегда выполняются. Тем самым мы убеждаемся в справедливости теоремы Ферма для произвольных чисел, удовлетворяющих условиям (6).

Интересно отметить, что выполнение условий (6) обеспечивает справедливость теоремы Ферма и при n=2; при n=1 в (5) мы выходим из множества натуральных чисел.

Обратимся к принципу доказательства по методу полной (математической) индукции [1]. Пусть А(n) - зависящее от n € N утверждение (N- множество натуральных чисел). Если доказано, что:

а) А(n0)выполняется;

б) при условии, что А(n) справедливо для некоторого n, верно также А(n+1) (шаг индукции), то А(n)справедливо для всех n € N, nn0.

В рассматриваемом здесь случае А(n) - утверждение о справедливости теоремы Ферма. Для случая n0=3 это теорема доказана Эйлером; для произвольных n, n+1,...,, удовлетворяющих условиям (6), доказательство теоремы Ферма приведено выше. Учитывая достаточно произвольный характер n, n+1, удовлетворяющих условиям (6), на основе аксиомы индукции можно утверждать, на наш взгляд, что теорема Ферма верна и для всех n € N, n≥3.

Основное содержание этой работы депонировано в ВИНИТИ [3].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по высшей математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука, 1980. - 976 с.
  2. Самин Д. К. Сто великих ученых. - М.: Вече, 2003. - 592 с.
  3. Сибгатуллин Э. С. К доказательству теоремы Ферма. М., 2005. Деп. в ВИНИТИ,09.11.2005. №1447 - В2005. - 3 с.
  4. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. - М.: Наука, 1990. - 256 с.