Распределение концентрации удовлетворяет уравнению [1]

(1)

где число Пекле Pe = aU / D, kv – константа скорости объемной химической реакции, ∆ – оператор Лапласа. Поле скоростей определяется [1] функцией тока ψ(r, θ). Исследуется решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям

C = 1 при r = 1; C→0 при r → ∞. (2)

В случае, когда числа Pe, kv – соизмеримы, наиболее трудный для исследования (величина μ = kv/Pe – постоянная). Задача сводится к исследованию полулинейного эллиптического уравнения со слабой нелинейностью, величина μ = kv/Pe – постоянная. В случае F(u) ≡ u асимптотика всюду вне капли построена в работе [1].

Задача массообмена тонкой капли в протяженном потоке исследована в работе [2], а в простом сдвиговом потоке в [3], при больших числах Пекле в [4], в нелинейном объемном потоке в [5]. В случаях деформированных капель задачи тепломассопереноса исследованы в работах [6–8]. А задачам конвективного массопереноса с переменными коэффициентами посвящены работы [9–10].

Пусть функция F(u) удовлетворяет условиям

и (3)

и справедливо разложение

(4)

при u → 0 и для некоторого k > 1.

Уравнение (1), с учетом обозначений ε = Pe-1/2 и μ = kv/Pe, приводим к виду

(5)

Цель исследования: построение асимптотики решения в малой окрестности капли, сначала в диффузионном пограничном слое исследуется асимптотика по малому параметру, далее вблизи точки стекания жидкости с капли исследуется асимптотика по пространственной переменной. Здесь используется техника исследования асимптотики средствами абстрактной математики в среде MAPLE и построена асимптотика на бесконечности. Далее, проводится компьютерное моделирование решений краевой задачи, используя построенную асимптотику. А затем в окрестности задней критической точки методом сращивания получен главный член асимптотики по параметру ε.

Диффузионный пограничный слой

В диффузионном пограничном слое асимптотика ищется в переменных . Тогда главный член c0(x, θ) строится как решение задачи

(6)

при (7)

В случае, когда удовлетворяет условиям (3), (4), при θ → 0 для определения v0(x) получаем задачу

(8)

при (9)

где . Справедлива теорема:

Теорема 1. Пусть выполнены условия (3) и (4). Тогда при x → ∞ для решения уравнения (8) справедливо асимптотическое представление

(10)

где

, и выполняются условия

для x > 0.

Доказательство теоремы. Сначала строится формальное асимптотическое решение вида (10). Для получения коэффициентов разложения применяются символьные вычисления в среде MAPLE.

Для начала в программе Maple набираем ряд для нахождения производных:

>

Находим производную ряда:

>

>

Вторая производная ряда находится:

>

>

Введем повторно ряд:

>

Далее возводим набранный ряд в квадрат:

>

Возводим ряд в куб:

>

Возводим ряд в четвертую степень:

>

Набираем уравнение:

>

Подставляем все найденные выражения в уравнение:

>

Из конечного выражения приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x и получаем равенства для определения коэффициентов cj,i:

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

Функция v0(x) ищется в виде суммы

(11)

где

(12)

для

Подставляя сумму (11) в уравнение (8), мы получаем задачу

(13)

(14)

где

(15)

Дальнейшее доказательство состоит в следующем. Аналогично работе [11] в левой части уравнения (13) выделяем линейную часть, а нелинейную часть переносим вправо.

(16)

где

(17)

Для доказательства существования решения уравнения (16) исследуется однородное уравнение, затем задача сводится к решению интегрального уравнения.

Область задней критической точки

Решение задачи в пограничном слое задней критической точки строится в переменных Главный член асимптотики строится как решение уравнения

(18)

удовлетворяющее граничным условиям

при ξ = 0 (19)

и условию согласования

u(x, ξ) – u1(x) → 0 при ξ → ∞. (20)

Функция u1(x), построенная в теореме 1, удовлетворяет всем требуемым условиям (18)–(20).

Численное моделирование

Переходим к решению краевой задачи (8), (9). Здесь следует учесть, что в полученных разложениях (10) есть произвольная константа c1,0. Для того чтобы удовлетворить первому из ограниченных условий (9), то есть v(0) = 1, применяем теорему о непрерывной зависимости решения от параметров. Уравнение (8) перепишем в виде системы

(21)

Из условий устойчивости явных схем [12] следует, что следует интегрировать назад (т.е. с шагом h < 0). Начальные условия для системы (21) имеют вид

(22)

где постоянные v0, z0 определяются из выражения (10) и ее производной

В качестве промежутка для c1,0 зададим (a, b), где, например, a = 0,01, b = 20. Далее используем цикл с предусловием. Условие для цикла задаем: |y0 – 1| > ε, где y0 = v0(0). После указываем значение x = 150 и переходим к коэффициентам, которые задаются из формулы (10), а коэффициент c1,0 находим методом половинного деления, т.е. и далее уточняем приближения.

Рассмотрим случай, когда F(u) = u∙cos(u). Методом Рунге – Кутты получены следующие результаты:

μ = 0,5, y = 1,0000; z = -0,3427; c = 0,9540;

μ = 1, y = 1,0000; z = -0,6272; c = 0,9345;

μ = 3, y = 1,0000; z = -1,3495; c = 1,7560;

μ = 4,5, y = 0,9999; z = -1,7173; c = 4,6988;

μ = 5,5, y = 1,0000; z = -1,9253; c = 10,4955;

μ = 6, y = 1,0001; z = -2,0216; c = 16,2519.

Заключение

В работе показано, что в окрестности задней критической точки решение задачи существенно носит слабо нелинейный характер. Данный результат получен методом согласования асимптотики решения с асимптотикой решения в диффузионном пограничном слое.