Постановка динамической задачи теории упругости

Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид

, ,

,

, (1)

где , и – компоненты тензора упругих напряжений; , и – компоненты тензора упругих деформаций; и – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; r – плотность материала; – скорость продольной упругой волны; – скорость поперечной упругой волны; n – коэффициент Пуассона; Е – модуль упругости; – граничный контур тела Г.

Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях. Начальные условия в области Г зададим в виде

, , (2)

где , , и – заданные в области Г функции.

Граничные условия зададим в виде:

составляющих компонентов тензора упругих напряжений на границе

, ; (3)

составляющих компонентов вектора упругих перемещений на границе

, , (4)

где l и m – направляющие косинусы; , , и – заданные на границе S функции.

Численное решение двумерной плоской динамической задачи теории упругости

Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями – используем метод конечных элементов в перемещениях.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

, , , (5)

где – матрица инерции; – матрица жесткости; – вектор узловых упругих перемещений; – вектор узловых упругих скоростей перемещений; – вектор узловых упругих ускорений; – вектор узловых упругих внешних сил.

Интегрируя по временной координате соотношение (5) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек:

,

. (6)

Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина. Система уравнений (5) для внутренних и граничных узловых точек, полученная в результате интегрирования уравнения движения теории упругости, должна давать решение, сходящееся к решению исходной системы (1). Шаг по временной переменной определяем из следующего соотношения:

, (7)

где – длина стороны конечного элемента.

Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках.

В работах [1–10] приводится информация о моделировании нестационарных волн напряжений в деформируемых телах.

Решение задачи о сосредоточенном взрывном воздействии

Рассмотрим задачу о сосредоточенном упругом взрывном воздействии (рис. 2) на набережной речного порта с незаполненным водным объектом (рис. 1). В работах [1, 3, 5, 9–10] приведена информация в области оценки достоверности результатов применяемого численного метода. В точке B приложено нормальное воздействие , которое при () изменяется линейно от до , при изменяется P до 0 (, – 0,1 МПа (–1 кгс/см2)). Граничные условия для контура CDEF при . Отраженные волны от контура CDEF не доходят до исследуемых точек при . Контур CBAGF свободен от нагрузок, кроме точки , где приложено сосредоточенное воздействие. Расчеты проведены при следующих исходных данных: ; = 1,393⋅10–6 с; E = 3,15⋅10 4 МПа (3,15⋅105 кгс/см2); n= 0,2; r= 0,255⋅104 кг/м3 (0,255⋅10-5 кгс с2/см4); Cp= 3587 м/с; Cs= 2269 м/с. Исследуемая расчетная область имеет 20402 узловые точки. Решается система уравнений из 81608 неизвестных.

На рис. 4–6 показано изменение упругого контурного напряжения () во времени n в точках A1–A3 (рис. 3), находящихся на свободной поверхности упругой полуплоскости. Растягивающее упругое контурное напряжение от точки A1 до точки A10 изменяется от значения до значения . Сжимающее упругое контурное напряжение от точки A1 до точки A10 изменяется от значения до значения . Растягивающее упругое нормальное напряжение () от точки до точки изменяется от значения до значения . Сжимающее упругое напряжение от точки B1 до точки B10 изменяется от значения до значения .

Рис. 1. Постановка задачи о сосредоточенном упругом взрывном воздействии на набережной речного порта с незаполненным водным объектом

Рис. 2. Взрывное воздействие для задачи с незаполненным водным объектом

Рис. 3. Точки A1-A10 и B1-B10, в которых получены упругие напряжения во времени

Упругое нормальное напряжение в точках от точки B1 до точки B10 является очень маленьким. Растягивающее упругое нормальное напряжение () от точки до точки изменяется от значения до значения . Сжимающее упругое напряжение от точки B1 до точки B10 изменяется от значения до значения .

Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения во времени в точке A1 в задаче с незаполненным водным объектом

Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения во времени в точке A2 в задаче с незаполненным водным объектом

Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения во времени в точке A3 в задаче с незаполненным водным объектом

Упругое касательное напряжение в точках от точки B1 до точки B10 является маленьким. Растягивающее упругое касательное напряжение () от точки B1 до точки B10 изменяется от значения до значения . Сжимающее упругое касательное напряжение от точки B1 до точки B10 изменяется от значения до значения .

Выводы

Для прогноза безопасности сооружений при взрывных воздействиях на набережной речного порта с водной средой применяется численное моделирование.

На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для решения линейных двумерных плоских задач, которые позволяют решать сложные задачи при взрывных воздействиях на сооружения. Задачи решаются методом сквозного счета, без выделения разрывов. Линейная динамическая задача с начальными и граничными условиями в виде дифференциальных уравнений в частных производных для решения задач при взрывных воздействиях с помощью метода конечных элементов в перемещениях приведена к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, которая решается по явной двухслойной схеме.

Решена задача о сосредоточенном упругом взрывном воздействии на набережной речного порта с незаполненным водным объектом. Взрывное воздействие моделируется в виде треугольного импульса. Получены напряжения в точках на набережной речного порта с незаполненным водным объектом.