Пусть X – сепарабельное банахово пространство. Говорят, что последовательность F Х-значных случайных элементов удовлетворяет усиленному закону больших чисел (УЗБЧ), если для любой подпоследовательности из F

п.н.,

где η – некоторый случайный элемент.

В [2] показано, что любая ограниченная по норме в последовательность скалярных случайных величин содержит подпоследовательность, удовлетворяющую УЗБЧ. Для бесконечномерных Х-значных случайных элементов эта теорема, вообще говоря, не верна. Соответствующий пример построен в [1].

Нами доказано следующее утверждение.

Теорема. Пусть банахово пространство X таково, что из любой равномерно ограниченной в последовательности случайных элементов можно извлечь подпоследовательность, удовлетворяющую УЗБЧ. Тогда из любой равномерно ограниченной в , где , последовательности случайных элементов, можно извлечь подпоследовательность, удовлетворяющую УЗБЧ .