Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,909

Применение аналитической функции в отображении областей

Светличная В.Б. 1 Воронин А.А. 1
1 Волжский политехнический институт, филиал Волгоградского государственного технического университета
1. О взаимосвязи математики и сопротивления материалов как учебных дисциплин технического вуза / В.Б. Светличная, В.И. Соколов, В.Н. Тышкевич. – Волгоградский государственный технический университет, 2008. – Т.5. – № 5. – С. 85–87
2. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах / А.В. Пантелеев, А.С. Якимова. – М.: Высшая школа, 2001. – С. 115–116.

Понятие конформного отображения

Теория и практика конформных отображений имеет широкое применение в различных областях: в теории потенциала, в задачах гидродинамики и электростатики, теории упругости.

Во многих случаях возникает проблема сведения задачи, решаемой в некоторой заданной области, к решению ее в другой области. Это – проблема нахождения отображения областей.

Для плоских областей такое отображение

Eqn345.wmf

может отображаться в виде w = f(z), u = Ref(z), v = Imf(z), то есть сводится к нахождению соответствующей аналитической функции.

Покажем на примере: найдем дробно-линейную функцию, отображающую круг единичного радиуса с центром в начале координат на верхнюю полуплоскость. То есть требуется найти отображение области D:│z│ < 1 на область G:Im z > 0. Границей области D является окрестность │z│ = 1. Ее образ – прямая. Из теории: окружности и прямые, проходящей через особую точку z = –d/c дробно-линейной функции Eqn346.wmf отображаются в прямые. Поэтому искомая функция должна иметь особую точку одну из точек окружности │z│ = 1.

pic_86.tif

На первом этапе «распрямили» окружность, то есть подберем функцию, переводящую одну из точек окружности в бесконечно удаленную точку.

Eqn347.wmf

где W1(–1) = ∞. Найдем уравнение прямой, в которую переходит │z│ = 1 при отображении Eqn347.wmf.

Тогда

Eqn348.wmf Eqn349.wmf Eqn350.wmf

Последнее уравнение задает прямую, перпендикулярную отрезку, соединяющему точки W1 = 1 и W1 = 0, через его середину, то есть ReW1 = 1/2.

Образом области D будет G: ReW1 > 1/2.

pic_87.tif

pic_88.tif

Вторым этапом является смещение (сдвиг) влево на 1/2, то есть линейное отображение W2 = W1 = 1/2. Образом ReW1 = 1/2 будет ReW2 = 0.

Eqn351.wmf или Eqn352.wmf.

При отображении W2 образом области D является правая полуплоскость ReW2 > 0.

На третьем этапе осуществляется поворот в плоскости W2 на Eqn353.wmf против часовой стрелки, то есть

Eqn354.wmf, Eqn355.wmf


Библиографическая ссылка

Светличная В.Б., Воронин А.А. Применение аналитической функции в отображении областей // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6. – С. 112-112;
URL: http://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=32015 (дата обращения: 28.01.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074