Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,021

РАСШИРЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ БИБЛИОТЕКИ MATHPHP ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТОХАСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Богомолова О.И. 1
1 Казанский национальный исследовательский технологический университет
В работе рассмотрена реализация расширения математической библиотеки классов MathPHP. Основное назначение разработанного расширения – решение задач стохастического моделирования, в которых используется функция ошибок erf. Библиотека классов MathPHP разработана и поддерживается сотрудниками Массачусетского технологического университета. В качестве языка разработки данной библиотеки был выбран язык php, интенсивно применяемый в разработке веб-приложений. Исходный код библиотеки доступен всем желающим и может быть скачан из репозитория github. Библиотека классов MathPHP может быть использована для решения задач алгебры, геометрии, статистики, математического моделирования. В библиотеке классов MathPHP реализован класс специальных функций. В данной работе рассматривается возможность расширения данного класса для реализации функции ошибок и функции, обратной к функции ошибок. Функция ошибок, реализованная в данном классе, предполагает использование экспоненты, являющейся трансцендентной функцией. Для задач стохастического моделирования, требующих генерации огромного количества данных, является предпочтительным использование алгебраических функций. В статье предложено расширение класса специальных функций, содержащее реализацию функций ошибок erf и функции, обратной к erf. Функции представлены рациональной дробью с полиномами в числителе и знаменателе различной степени.
библиотека классов
методы класса
стохастическое моделирование
обратная функция
аппроксимация функции ошибок
разложение функции в ряд
относительная погрешность
абсолютная погрешность
параметрическое распределение
1. Алон Н., Спенсер Дж. Вероятностный метод: учебное пособие / Пер. 2-го англ. изд. 4-е изд., электрон. М.: Лаборатория знаний, 2020. 323 с.
2. Ермаков С.М., Сипин А.С. Метод Монте-Карло и параметрическая разделимость алгоритмов. СПб.: Изд. СПбГУ, 2014. 247 с.
3. Пантелеев А.В., Кудрявцева И.А. Численные методы для инженеров и экономистов. М.: Факториал Пресс, 2017. 416 c.
4. Dominici D. The inverse of the cumulative standard normal probability function. Integral Transforms and Special Functions. 2003. № 4. Р. 281–292.
5. Dominici D. Nested derivatives: a simple method for computing series expansions of inverse functions. International journal of mathematics and mathematical sciences. 2003. № 3. Р. 3699–3715.
6. Шакин В.Н., Загвоздкина А.В., Сосновиков Г.К. Объектно-ориентированное программирование на Visual Basic в среде Visual Studio.NET: учебное пособие. М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2019. 398 с.
7. Дудецкий В.Н. Объектно-ориентированные языки программирования: учеб. пособие: в 3 ч. Ч. I. 2-е изд., стер. М.: ФЛИНТА, 2016. 48 с.
8. Богомолова О.И. Алгоритм и программная реализация получения аппроксимации Паде для функций, обратных к функциям распределения // Вестник технологического университета. 2018. № 11. С. 127–130.

В настоящее время широкое применение получили стохастические методы моделирования. Эти методы основаны на предпосылке, что система изначально содержит по меньшей мере один источник неопределенности. Стохастическое моделирование базируется на методах теории вероятностей и математической статистики [1–3]. Универсальным способом описания всякой случайной величины является функция распределения. Наиболее частыми распределениями, используемыми в моделировании, являются нормальное, логнормальное, экспоненциальное, равномерное, бета- и гамма-распределения. В стохастическом моделировании часто возникает задача нахождения обратной функции, например, для получения обратной зависимости переменных. В задачах стохастического моделирования функция, обратная к вероятностной функции распределения, может быть использована для получения ряда случайных чисел, соответствующих заданному закону распределения. В работах [4–5] показан метод и алгоритм получения аппроксимации обратной вероятностной функции, записываемой через ряд Тейлора.

В рамках данного исследования предполагается выполнить анализ возможности расширения математической библиотеки классов Mathphp. Данное расширение может быть использовано в задачах стохастического моделирования. При разработке вычислительных программ для решения задач стохастического моделирования могут использоваться как процедурная, так и объектно-ориентированная парадигмы [6, 7]. Объектно-ориентированный подход имеет неоспоримые преимущества и позволяет использовать готовые библиотеки классов. В данной работе показана разработка расширения математического класса, написанного на языке программирования php. Язык php создан для разработки онлайн-приложений. В качестве математической библиотеки выбрана библиотека MathPHP.

Материалы и методы исследования

MathPHP – мощная современная математическая библиотека, имеющая лицензию Массачусетского технологического университета MIT (официальный сайт https://github.com/markrogoyski/math-php). Библиотека MathPHP представлена различными разделами математики, в частности алгеброй, тригонометрией, численным анализом, матричной алгеброй, комплексными числами, полиномами, статистикой. В классе статистика реализованы различные вероятностные распределения. Класс функции наследует несколько классов. Один из них – класс Special. Класс Special описывает специальные функции, к которым относятся функция ошибок, бета, гамма, логистическая функция. Методы данного класса, как и других, имеют многострочный комментарий, описывающий вид функции, максимальную относительную погрешность представленной аппроксимации. Ниже показан путь к классу, представляющему функцию ошибок, используемую в задачах, решение которых связано с нормальным распределением:

math-php/src/Functions/Special.php

Метод, описывающий функцию erf, показан ниже:

public static function errorFunction(float $x): float

{

if ($x == 0) {

return 0;

}

$p = 0.3275911;

$t = 1 /(1 + $p * abs($x));

$a1 = 0.254829592;

$a2 = -0.284496736;

$a3 = 1.421413741;

$a4 = -1.453152027;

$a5 = 1.061405429;

$error = 1 – ( $a1 * $t + $a2 * $t ** 2 + $a3 * $t ** 3

+ $a4 * $t ** 4 + $a5 * $t ** 5 ) * exp(-abs($x) ** 2);

return ( $x > 0 ) ? $error : -$error;

}

Предложенная выше аппроксимация использует экспоненциальную функцию, являющуюся трансцендентной. Для решения задач, требующих высокой производительности, предпочтительным является использование алгебраических функций. Покажем реализацию метода erf_2_2 класса Special Functions, который представляет функцию erf в виде рациональной дроби в числителе и знаменателе которой стоят многочлены 2 степени.

На рис. 1 представлена блок-схема получения аппроксимации рациональной дробью [8]. Первый этап – получение разложения в ряд Тейлора. Для функции ошибок erf ряд Тейлора представляется следующим образом:

bogom01.wmf (1)

Используя алгоритм и программу, описанную в работе [8], получим аппроксимацию рациональной дробью с многочленом второй степени в числителе и знаменателе:

bogom02.wmf (2)

bogomol1.tif

Рис. 1. Блок-схема получения коэффициентов аппроксимации Паде для функции обратной функции распределения

Расширим библиотеку добавив методы, описывающие функцию ошибок рациональной дробью. Для удобства использования методов класса продумаем нотацию методов. В названии метода к названию функции добавляются степени числителя и знаменателя. То есть для нашего примера рациональной дроби с многочленом 2 степени в числителе и знаменателе название запишется таким образом:

public static function erf_2_2(float $x): float

Ниже записан код метода erf_2_2:

public static function erf_2_2(float $x): float

{

if ($x == 0) {

return 0;

}

$error = 6*$t/(1.77245*(3+$t*$t));

return ( $x > 0 ) ? $error : -$error;

}

Для решения некоторых задач стохастического моделирования требуется генерация ряда значений, подчиняющихся заданному закону распределения. На рис. 2 показана схема метода, использующего генерацию ряда чисел, подчиняющихся нормальному распределению. Данный метод предназначен для оценки запаса углеводородов в пласте. Метод требует генерации большого количества случайных чисел, соответствующих нормальному распределению. В этом случае предпочтительными являются аппроксимации с использованием алгебраических функций.

Расширим данный класс, добавив методы, определяющие функцию, обратную к функции ошибок. Первым этапом необходимо получить разложение этой функции в ряд Тейлора. Ниже показано разложение функции erf–1(x), полученное в работе [5]:

bogom03.wmf (3)

Следующий шаг алгоритма – получение рациональной дроби, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены. Полученная аппроксимация представляет собой дробь с числителем и знаменателем 2 степени и имеет вид

bogom04.wmf (4)

bogomol2.tif

Рис. 2. Схема стохастического подхода при оценке запасов нефти в пласте

Запишем полученное выражение как метод класса MathPHP. В название метода добавим приставку inv_ и два числа в конце, разделенных нижним подчеркиванием, первое из которых степень числителя, а второе соответственно знаменателя. Ниже покажем код для аппроксимации функции, обратной к erf со степенью 2 в числителе и знаменателе дроби:

public static function inv_erf_2_2(float $x): float

{

$inv_error = (-0.0400305 + $x*(-12.5834 + 8.01608*$x))/(-14.6195 + $x*(10.5912 + $x));

return ( $x > 0 ) ? $error : -$error;

}

Для аппроксимации дробью со степенью 2 в числителе и 3 в знаменателе метод класса запишется следующим образом:

public static function inv_erf_2_3(float $x): float

{

$inv_error = (-0.0000699326 + (5.52147 – 4.53088*$x)*$x)/(6.23226 + $x*(-5.1401 +

$x*(-1.49546 + $x)));

return ( $x > 0) ? $error : -$error;

}

Для использования описываемых методов в технических приложениях необходимо знать погрешность аппроксимации. Посчитаем максимальную относительную погрешность для метода inv_erf_2_2 и добавим в многострочный комментарий к методу:

* Inverse Error function

* 2/2

* This is an approximation of the inverse error function

* (maximum relative error 0.7*10^?2)

* (-0.0400305 + x(-12.5834 + 8.01608x))

* erf^-1(x) ? -------------------------------------------

* (-14.6195 + x(10.5912 +x))

*

* @param float $x

*

* @return float

*/

Результаты исследования и их обсуждение

Разработанные в статье методы класса MathPHP представляют собой различные аппроксимации функции ошибок erf и обратной к ней функции erf_inv. Эта задача была решена с использованием алгебраических функций. Использование алгебраических функций является предпочтительным для решения задач стохастического моделирования, особенно требующих генерации огромного количества данных. Функции представлены рациональной дробью с полиномами в числителе и знаменателе различной степени. Алгоритм получения аппроксимаций рациональной дробью представлен на рис. 1. Для каждой реализации получены максимальные относительные погрешности. В зависимости от решаемой задачи и требуемой точности аппроксимации пользователь может выбрать необходимый метод библиотеки классов. Комментарии к коду методов содержат запись аппроксимации в привычной математической записи и информацию о максимальной относительной погрешности.

Заключение

Методы, дополняющие класс MathPHP, могут быть использованы для различных задач стохастического моделирования. Эти методы позволяют подобрать представление функций erf и erf_inv с допустимой для решения данной задачи относительной погрешностью.


Библиографическая ссылка

Богомолова О.И. РАСШИРЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ БИБЛИОТЕКИ MATHPHP ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТОХАСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ // Современные наукоемкие технологии. – 2020. – № 12-1. – С. 9-14;
URL: http://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=38404 (дата обращения: 20.06.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074