Рассмотрим дифференциальное уравнение четвёртого порядка:
(1)
причём
(2)
где τ - запаздывание; λ - спектральный параметр; потенциал q(x) - суммируемая функция на отрезке [0; π]: q(x) L1[0; π], начальная функция φ(x) - суммируемая функция на отрезке [-τ; 0]: φ(x) L1[-τ; 0].
Пусть λ = s4, - некоторая ветвь (зафиксируем её условием ), пусть
Методами, изложенными в работе [1], доказывается следующее утверждение.
Теорема 1. Решение y(x, s) дифференциальное уравнение (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:
(3)
Применяя к (3) метод последовательных приближений Пикара и используя (2), приходим к выводу, что справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. В случае τ Î (π; +∞ общее решение дифференциального уравнения (1)-(2) имеет следующий вид:
(4)
Теорема 3. В случае общее решение дифференциального уравнения (1)-(2) имеет следующий вид:
(5)
причём
(6)
Теорема 4. В случае общее решение дифференциального уравнения (1)-(2) имеет вид:
(7)
где определены в (6),
(8)
оценки в (7) проводятся методами главы 5 монографии [2].
Полученные формулы позволяют изучать различные краевые задачи для дифференциального уравнения (1).
Список литературы
-
Митрохин С.И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестник Московского университета. Сер. 1, математика, механика. - 2009. - №3. - С. 14-17.
- Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. - М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.
Библиографическая ссылка
Митрохин С.И. Об асимптотике решений дифференциального уравнения четвертого порядка с запаздывающим аргументом // Современные наукоемкие технологии. – 2012. – № 7. – С. 28-29;URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=30719 (дата обращения: 29.03.2024).