Введение

В работе рассматривали общие нелинейные осцилляторы [1–3]:

, (1)

с начальными условиями

, , (2)

Здесь f ‒ нелинейная функция от uʺ, uʹ и u. Ограничимся простейшим случаем, когда f зависит только от функции u. Если в задаче Коши, сформулированной уравнениями (1) и (2), отсутствует малый параметр, то в данном случае традиционные методы теории возмущений напрямую применяться не могут. Кроме того, методы возмущений могут привести к потере точности решения из-за необходимости работы с приближенными выражениями. В последнее время большое внимание уделяется анализу нелинейных уравнений без малых параметров.

С целью преодоления описанного выше ограничения разработано множество новых методов. Среди них вариационные методы [4, 5] и метод гомотопического возмущения [6].

Более детальную информацию по упомянутым выше методам можно найти в работах [7, 8]. Также следует отметить работу [9], в которой для линеаризованной системы применен принцип максимума Понтрягина. В методе же энергетического баланса применяется вариационный принцип нелинейных колебаний. В работе [10] показано, что даже аппроксимации низшего порядка обеспечивают высокую точность.

Целью исследования является изучение возможности применения метода энергетического баланса к приближенному решению нелинейных уравнений вибраций и оценке эффективности данного метода по сравнению с методом Рунге – Кутты 4-го порядка.

Материалы и методы исследования

В работе рассматривается общий нелинейный осциллятор вида [4, 5]:

, (3)

поскольку u и t ‒ обобщенные безразмерные переменные смещения и времени.

Вариационный принцип легко получить следующим образом:

, (4)

где .

Он является гамильтоновым, поэтому его можно записать в виде

. (5)

или

. (6)

Колебательные системы содержат два важных физических параметра: частоту ω и амплитуду колебаний A. Рассмотрим начальные условия:

, . (7)

В первом приближении смещение будем искать в следующем виде:

. (8)

Подставив уравнение (8) в уравнение (6), получим

. (9)

Если бы случайно в качестве пробной функции было выбрано точное решение, то можно было бы сделать R равным нулю для всех значений t путем соответствующего выбора x. Поскольку (7) является лишь приближением к точному решению, R нельзя везде обнулить. Используя ωt = π/4, получим

, (10)

где T = 2π/ω – период нелинейного осциллятора. Его период можно записать в виде

. (11)

Результаты исследования и их обсуждение

Для оценки точности метода энергетического баланса, рассмотрим примеры.

Пример 1.

Известно, что свободные колебания автономного консервативного осциллятора с инерционным и статическим типом нелинейностей 5-го порядка описываются уравнением

, , . (12)

Предполагается, что движение начинается из положения максимального перемещения с нулевой начальной скоростью; λ ‒ целое число, принимающее значения 1, 0, -1; а ε1; ε2; ε3 и ε4 ‒ положительные параметры, связанные с режимами расчета (таблица).

Значения безразмерных параметров εi в уравнении (12)

Численное решение (методом Рунге – Кутты 4-го порядка) нелинейного уравнения имеет вид

, , (13)

, . (14)

Решение нелинейного уравнения методом энергетического баланса:

, . (15)

где u и t ‒ обобщенные безразмерные переменные смещения и времени соответственно. Вариационный принцип описывается следующим уравнением:

. (16)

Поэтому его гамильтониан можно записать в виде

(17)

или

. (18)

Колебательные системы содержат два важных физических параметра: частоту ω и амплитуду колебаний A. Итак, рассмотрим такие начальные условия:

, . (19)

Первоначальное приближение будем искать в следующем виде:

. (20)

Подставив уравнение (20) в уравнение (18), в результате получим

. (21)

Что приводит к следующим результатам:

. (22)

Кроме того, сравнение этих методологий можно найти на рис. 1.

Если положить ωt = π/4, то в результате получим

. (23)

Рис. 1. Сравнение решения метода энергетического баланса и численного решения, решенного методом Рунге – Кутты 4-го порядка, сплошная линия – численное решение и пунктирная линия – решение энергетического баланса.

Подстановка уравнения (23) в уравнение (20) приводит к следующему результату:

. (24)

Предполагается, что движение начинается из положения максимального перемещения с нулевой начальной скоростью.

Пример 2.

Рассмотрим уравнение движения маятника с гармонической точкой стрингера на рис. 2.

Уравнение движения маятника с гармонической точкой стрингера:

, , . (25)

Это уравнение известно как система с коэффициентами, зависящими от времени.

Численное решение (методом Рунге – Кутты 4-го порядка) маятника с гармонической точкой стрингера:

, , (26)

, . (27)

Рис. 2. Маятник с точкой гармонического стрингера:

Решение уравнения маятника с гармонической точкой стрингера по методу энергетического баланса имеет вид

, , . (28)

В котором θ и t ‒ обобщенные безразмерные перемещения и переменные времени соответственно. Его вариационный принцип легко получить как

. (29)

Поэтому его гамильтониан можно записать в виде

(30)

или

. (31)

Рассмотрим начальные условия:

, . (32)

Предположим, что его первоначальное приближенное предположение можно выразить как

. (33)

Подставив уравнение (33) в уравнение (31), получим

(34)

Что приводит к следующему результату:

. (35)

Рис. 3. Сравнение метода энергетического баланса и численного решения, выполненного методом Рунге – Кутты 4-го порядка, сплошная линия – численное решение и пунктирная линия – решение энергетического баланса

Формула (35) при ωt = π/4 перепишется следующим образом:

. (36)

Подставив уравнение (36) в уравнение (33), получим

. (37)

Для следующих значений параметров было произведено сравнение численного решения с методом энергетического баланса, рис. 3, а–в: L=1 м, ω0 = 1 рад/с, Y = 0,25 м, g = 9,81 м/с2.

Заключение

В данной работе метод энергетического баланса успешно использован для исследования нелинейных уравнений вибрации. Этот метод оказался мощным математическим инструментом для изучения нелинейных уравнений вибрации и может быть легко распространен на любое нелинейное уравнение. На примере решения примеров продемонстрирована точность и эффективность метода. Показано, что полученные решения справедливы для всей области. Примеры показывают, что даже низшие порядки приближений, полученные с помощью настоящей теории, имеют высокую точность 4-го порядка, можно сказать, что оба результата, полученные этими методами, точны и близки друг к другу. Эти примеры иллюстрируют эффективность метода энергетического баланса по сравнению с другими методами.