В современном строительстве широко и многофункционально используются многослойные пластины. Слои пластин выполняют как из новых, так и традиционных материалов, в том числе композитных. Эти материалы в основном характеризуются свойством разномодульности, то есть имеют различные модули упругости при растяжении и сжатии [1]. Решая задачи изгиба составных конструкций, необходимо учитывать особенности их деформирования в реальных условиях за счёт взаимного проскальзывания слоёв. Перераспределение усилий между слоями обеспечивается переменной жёсткостью швов. При расчёте напряжённо-деформированного состояния необходимо учитывать влияние жёсткости межслойных связей. Построение математической модели подробно изложено в [2].

Цель исследования: математическая модель изгиба многослойных составных пластин из разномодульных материалов включает систему дифференциальных уравнений и граничные условия. В результате интегрирования уравнений равновесия, неразрывности и работы шва, искомые функции W, φⁱ, Ti должны удовлетворять краевым условиям, которые соответствуют конкретному закреплению контура.

Материалы и методы исследования

Построение математической модели и последующие исследования выполнялись методами математического моделирования.

Результаты исследования и их обсуждение

Рассматривается изгиб составных пластин, у которых материал среднего слоя имеет различные модули Юнга на растяжение и сжатие, определяющим является знак главного напряжения [3], разномодульность связана с положением главных площадок [4]. Рассмотрим составную трехслойную симметричную пластину. Размеры пластины 1200×1200 мм. Толщины крайних стальных листов мм, общая толщина 120 мм. Модули упругости МПа; МПа, коэффициенты Пуассона . Нагрузка интенсивностью q = 1 МПа прикладывалась в центре пластины на площадке 200×200 мм по нормали.

Слои в составной пластине соединены связями, которые предполагают сдвиг одного слоя по отношению к другому вдоль оси пластин. Поперечные связи абсолютно жесткие. Такое соединение слоев обеспечивает одинаковый прогиб.

Интегральные характеристики жесткости для i-го слоя составной пластины запишем с учётом разномодульных свойств материала [1], в декартовых координатах. Переход от направлений главных площадок к координатам X, Y осуществляем через преобразование матрицы податливостей, в отличие от [5].

Математическую модель изгиба составной конструкции из разномодульных материалов запишем в виде системы дифференциальных уравнений [1]. Стремясь к смешанной форме уравнений, введем в рассмотрение функцию усилий φ(x, y), действующих в срединной поверхности i-го слоя. Запишем усилия, действующие в i-м слое:

(1)

Обозначим , , где , – усилия от сдвигающих напряжений в межслойных связях i-го шва.

Уравнение равновесия получим из рассмотрения элемента i-го слоя пластины в смешанном виде [1]:

(2)

Уравнение неразрывности для срединной поверхности i-го слоя в операторной форме [1]:

(3)

Чтобы замкнуть систему, запишем уравнения, отражающие работу i-го шва. В этих уравнениях учитывается совместная работа слоев, прилегающих к i-му шву.

В каждом шве выделим осевую линию, по обе стороны которой происходят продольные смещения слоев. Разности этих смещений запишутся как

; , (4)

где ui(x, y), vi(x, y), wi(x, y) – продольные и поперечные смещения точек серединной поверхности i-го слоя; ci(x, y) – расстояние между серединными поверхностями смежных слоев, при переменной толщине слоев.

Связь между Δuⁱ, Δvⁱ и сдвигающими напряжениями в i-м шве представим в виде [2]:

Напряжения сдвига записываются через функции и учитывающие работу i-го шва:

; . (5)

Выразим из (5) Δuⁱ, Δvⁱ, подставим их в (4). Продифференцируем первое уравнение (4) по x, второе по y. Запишем полученные уравнения [1]:

(6)

Математическая модель изгиба многослойных составных пластин из разномодульных материалов состоит из системы дифференциальных уравнений и граничных условий.

В результате интегрирования (2), (3) и (6) искомые функции W, φⁱ и Tⁱ должны удовлетворять краевым условиям, которые соответствуют конкретному закреплению контура.

В общем случае можно выделить две группы граничных условий: на контуре опирания (для всего пакета) и на торцах пакета (для каждого i-го слоя и шва). При этом условия на контуре формулируются независимо от условий на торцах слоев и швов.

Варианты опирания на контуре:

1. Шарнир.

2. Жесткая заделка.

3. Свободный край.

Условия на торцах слоев:

A – торцы слоев скреплены гибкой лентой;

B – торцы скреплены абсолютно жесткой лентой;

C – свободные торцы.

Полагая, что на всех четырех кромках составной пластины условия одинаковы, приступим к рассмотрению случаев опирания по кромкам x = 0 и x = a:

1 – A. Пластина опирается на шарнир, подвижный по нормали к контуру и неподвижный вдоль контура, а торцы слоев скреплены гибкой лентой. Граничные условия имеют вид

W = 0; V i = 0; Mx = 0;

; ; . (7)

Из первого условия следует . Из (1), если , то . Из (7) искомые функции, должны удовлетворять следующим условиям:

(8)

1 – B. При шарнирном опирании пластины торцы скреплены абсолютно жесткой лентой. Граничные условия имеют вид

W = 0; Ui = 0; Vi = 0; ; . (9)

Так как W принимает на кромке нулевое значение, то и производная вдоль этой кромки.

Распишем условия (9):

(10)

Далее система (9) расписывается относительно , , .

1 – C. Составная пластина со свободными торцами слоев опирается на шарнир. Краевые условия для этого случая:

W = 0; Mx = 0; ; Si = 0; Ti = 0. (11)

Равенство нулю прогиба на кромке приводит к условию , .

; (12)

Окончательно получим ;

Ti = 0; (13)

Заключение

Представленные дифференциальные уравнения позволяют решать, в отличие от существующих моделей, задачи изгиба многослойных пластин из разносопротивляющихся материалов с учетом влияния жесткости межслойных связей на напряженно-деформированное состояние конструкции. Свойство разномодульности материала учтено при записи интегральных характеристик жесткости. Тот факт, что дифференциальные уравнения имеют высокий порядок, позволяет учитывать сложные и разнообразные кинематические и статические условия закрепления слоев оболочки. Граничные условия для функции, которая отражает условия, связанные с внешней статической неопределимостью, должны записываться для каждого слоя, для функции, отвечающей за внутреннюю статическую неопределимость конструкции, для каждого шва.