Метрологические требования контроля автоматизированного технологического оборудования имеют тенденцию к увеличению числа параметров контроля, что приводит к созданию измерительных систем, качество которых во многом зависит от точностных характеристик входящих в их состав устройств. К таким системам относятся измерительные системы, в состав которых входят акустооптические лазерные интерферометры, работающие на принципах гетеродинной лазерной интерферометрии [1, 2].

Одним из основных элементов акустооптических лазерных интерферометров является акустооптический модулятор, в котором происходит взаимодействие оптических и ультразвуковых волн в результате дифракции света на ультразвуке.

Акустооптическое взаимодействие представляет собой процесс рассеяния оптического поля на вариациях оптической неоднородности среды, создаваемых акустическими волнами. Акустическое поле, возбуждаемое в пространстве, образует в среде светозвуковода сложное распределение показателя оптического преломления среды.

Рассмотрим распространение акустических колебаний ультразвукового диапазона малой амплитуды в прямоугольном волноводе, заполненном немагнитной диэлектрической жидкостью. Будем отталкиваться от фундаментального уравнения акустики [3]

, (1)

где  – оператор Лапласа в декартовых координатах; ?(x, t) – потенциал скоростей, т.е. или ; , ?0 – равновесная плотность жидкости. Связь изменения локальной плотности жидкости с потенциалом скорости ? выразится следующим образом [4]:

. (2)

В одном из торцов волновода расположен источник ультразвуковых волн, противоположный торец устроен так, чтобы не создавать отражённых волн в объёме волновода. Начало координат совпадает с центром излучателя, ось Ox совпадает с осью волновода, оси Oy и Oz перпендикулярны стенкам волновода, а в местах с координатами , имеются оптически-прозрачные окна (рис. 1).

Рис. 1. Схема распространения акустических колебаний в прямоугольном волноводе

Излучатель представляет собой пьезокварцевую пластинку, колеблющуюся по толщине. В этом случае излучатель будет генерировать плоские акустические волны, распространяющиеся вдоль оси Ox [3, 4]:

, (3)

где ?a – частота колебаний излучателя, Ka = (ka, 0, 0) – волновой вектор,  – волновое число, ? – коэффициент поглощения ультразвуковой волны в результате вязких потерь.

Акустические волны распространяются вдоль волновода без искажения в соответствии с законами геометрической акустики, так как имеют малую длину волны и сохраняют плоскую волну при распространении в волноводе [4]. Таким образом, вследствие малой амплитуды, можно пренебречь такими эффектами, как акустическое течение, деформация волнового фронта около стенок волновода и т.п. [4, 5].

Подставляя (3) в (2), получаем выражение для изменений локальной плотности среды:

.

Плотность среды ? определяется выражением

. (4)

Рассмотрим связь плотности жидкости ? с её абсолютным показателем преломления n. Известно [6, 7], что связь показателя преломления с микроскопическими характеристиками среды выражается следующим образом:

, (5)

где N – число молекул в единице объёма; ? – поляризуемость молекул среды.

Учитывая, что N = ?/?, где ? – молярная масса вещества, выражение (5) можно переписать в следующем виде:

. (6)

Уравнения изменения напряженности световой электромагнитной волны для вектора напряженности электрического поля через оптически неоднородную среду определяется выражением [6, 7]:

. (7)

Так как среда представляет собой жидкость немагнитную и диэлектрическую (поляризация волны не играет роли), можно описать ее с помощью вектора одной из её проекций E(x, y, z, t) [6, 7, 8]. С учётом данного замечания и выражений (4) и (6), уравнение (7) перепишется в виде

или

, (8)

где

.

Так как значения оптических частот намного больше акустических , то можно воспользоваться так называемым бриллюэновским квазистатическим приближением и считать, что u(r, t) ? u(r) (рис. 2), предполагая акустическую волну неподвижной в процессе рассеяния, а ?at в выражении рассматривать как параметр.

Представив решение уравнения (8) в виде , приходим к следующему уравнению:

, (9)

где , .

Используя функцию Грина, с учетом и уравнения (8), переходим от уравнения (9) к интегральному уравнению

, (10)

где представляет собой решение уравнения (9) для ? = 0 и удовлетворяющее соответствующим граничным условиям.

Рис. 2. Функция для t = 0

Трехмерное сингулярное интегральное уравнение имеет вид:

. (11)

Вследствие малого значения амплитуды акустической волны, т.е. при малом значении второго слагаемого уравнения (8), напряжённость E на выходе из области взаимодействия с акустическим полем можно представить в виде

, (12)

где E0 – невозмущённая составляющая напряженности световой волны, E’ – рассеянная составляющая, .

Подставляем (12) в (8). После отбрасывания членов порядка выше первого получаем следующее неоднородное уравнение:

. (13)

Рассмотрим наиболее важный практический случай, когда падающая и рассеянная волны монохроматичны, то есть:

,

. (14)

Точка над функцией означает умножение на ei?t. Подставляя (14) в (13) и сокращая множитель , окончательно приходим к неоднородному уравнению Гельмгольца:

. (15)

В первом борновском приближении теории возмущений [8] решение уравнения (15) можно представить в виде

, .

Наиболее интересным является случай, когда V – объём в виде прямоугольного параллелепипеда ; ; со сторонами a, b и c (a ? b ? с) и k = (0, k, 0) – плоская волна. Тогда:

. (16)

К сожалению, факторизовать ядро в выражении (16) в декартовых координатах невозможно. Это не позволяет получить аналитическое выражение или хотя бы упростить данный интеграл. Поэтому целесообразно рассматривать интерференционную картину на плоскости , ? > 0, оставаясь в области, где интеграл (16) не является сингулярным.

При описании интерференции интенсивность света определяют по усреднённому по времени квадрату напряженности [6, 7]:

. (17)

Для случая монохроматических волн уравнение (17) будет иметь вид

, (18)

где * означает комплексное сопряжение.

На рис. 3 представлена интерференционная картина, рассчитанная по предложенной методике, для следующих значений параметров: t = 0 сек, a = b = c 10–2 м, xcp 10–2 м, ? = 5?10–2, ? = 1,5?10–30 м3, ?0 = 103 кг/м3, ? = 18 а.е.м. = 3?10–26 кг, va = 1,4?103 м/с, ?a = 6? ?106 рад/с, vc = 3?108 м/с, ?c = 1015 рад/с, k = 4,3? ?106 рад/м, ? = 2,4?103 рад/м, ka = 103 рад/м, ? = 0,5 м-1.

Рис. 3. Интерференционная картина акустооптического взаимодействия

Вернёмся к уравнению (9) и представим решение в следующем виде:

. (19)

Подставив (19) в (9), после сокращения на eiky, придём к уравнению

. (20)

Применим к уравнению (20) метод разделения переменных (метод Фурье) и представим решение уравнения в факторизованном виде [6]:

. (21)

После подстановки (21) в (20), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений со следующими граничными условиями:

, (22)

, (23)

. (24)

Условия (24) для уравнения (23) подразу мевают, что стенки у волновода на рис. 1 сделаны из светоотражающего материала, за исключением оптически-прозрачных окон. Решение (23) с граничными условиями (24) имеет вид

.

Таким образом, в описании акустооптического взаимодействия возможно применение борновского приближения. Однако стоит отметить, что даже при вычислении интеграла (16) приходится использовать нестандартные подходы, т.к. интегрируемая часть является сильноосциллирующей функцией и данный вопрос требует отдельного рассмотрения.

Моделирование акустооптического взаимодействия с использованием борновского приближения позволяет решить достаточно сложную задачу построения интерференционной картины, которую можно использовать для анализа метрологических характеристик информационно-измерительных систем с использованием лазерных интерферометров.