Постановка задачи при упругих волновых воздействиях

Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями – используем метод конечных элементов в перемещениях. Постановки, численные методы, технология программных комплексов и анализ результатов решения нестационарных динамических задач для областей сложной формы рассмотрены в работах [1–10].

Разработка методики и алгоритма

Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Для решения линейных дифференциальных уравнений используем метод конечных элементов в перемещениях.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

, , ,(1)

где – диагональная матрица инерции; – матрица жесткости; – вектор узловых упругих перемещений; – вектор узловых упругих скоростей перемещений; – вектор узловых упругих ускорений; – вектор внешних узловых упругих сил.

Интегрируя по временной координате соотношение (1) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

,

. (2)

Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложения определенных условий на отношение шагов по временной координате и по пространственным координатам, а именно

, (3)

где – длина стороны конечного элемента.

Устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках исследуем с помощью численного эксперимента. Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках.

На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при нестационарных динамических воздействиях на уникальные сооружения. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90.

В работах [2–10] приведена информация о численном моделировании волн напряжений.

Определение нестационарных упругих волн напряжений в подкрепленном круглом отверстии

Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на подкрепленное круглое отверстие. Начальные условия приняты нулевыми. В сечении на расстоянии 1,6H (рис. 1) при скорость упругого перемещения изменяется линейно от 0 до а при Внутренний контур подкрепленного отверстия предполагается свободным от нагрузок при .

Рис. 1. Постановка задачи для подкрепленного круглого отверстия

На границе подкрепления и среды EFGH приняты условия непрерывности перемещений. Граничные условия для контура IJKL при Отраженные волны от контура IJKL не доходят до исследуемых точек при . Расчеты проведены при следующих исходных данных:

Н = 0,2 м; 0,186∙105 с; 0,72∙105 МПа (0,72∙106 кгс/см2); 0,3; 0,275∙104 кг/м3 (0,275∙10-5 кгс∙с2/см4); 5364 м/с; 0,407∙105 с; 0,36∙104 МПа (0,36∙105 кгс/см2); 0,36; 0,122∙104 кг/м3 (0,122∙10-5 кгс∙с2/см4); 1841 м/с; –0,1 МПа (–1 кгс/см2) ( – подкрепление; – среда).

Исследуемая расчетная область имеет 1536 узловых точек. Внутренний контур подкрепления аппроксимирован 28 узловыми точками. По толщине подкрепление аппроксимировано двумя узловыми точками.

Рис. 2. Изменение упругого контурного напряжения в точке 1 во времени на внутреннем контуре подкрепленного круглого отверстия при воздействии плоской продольной упругой волны типа функции Хевисайда

Рис. 3. Изменение упругого контурного напряжения в точке 1 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени

Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения в точке 2 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени

Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения в точке 3 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени

Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения в точке 4 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени

Рис. 7. Изменение упругого контурного напряжения в точке 5 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени

Рис. 8. Изменение упругого контурного напряжения в точке 6 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени

Рис. 9. Изменение упругого контурного напряжения в точке 7 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени

Рис. 10. Изменение упругого контурного напряжения в точке 8 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени

Рис. 11. Изменение упругого контурного напряжения в точке 9 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени

На рис. 2 показано изменение контурного напряжения в точке 1 во времени ( 1 – результаты аналитического решения [1]; 2 – результаты численного решения, полученные методом конечных элементов [2, 4 и 6]. Расхождение для максимального упругого контурного напряжения составляет 12 %. Результаты исследований показаны на рис. 3–11 в виде графиков изменения контурных напряжений () в точках 1–9 во времени при воздействии функции Хевисайда. Максимальной величины сжимающее контурное напряжение достигает в точке 1 почти за два прохода фронтом продольной волны диаметра среднего контура подкрепленного круглого отверстия и равно = – 13,6.

Вывод

Сравнение с результатами аналитического метода показало их хорошее совпадение, что позволяет сделать заключение о физической достоверности результатов численного решения волновых задач.