В данной работе рассматривается регуляризация с малым параметром нестационарной модели несжимаемой жидкости в переменных функции тока и вихря скоростей. Получено существование и сходимость обобщенного решения приближенной задачи, а также выведены равномерные априорные оценки и оценка скорости сходимости решения.

Рассмотрим уравнения вязкой несжимаемой жидкости в форме Ламба-Громека:

(1)

(2)

где – полный напор. Будем считать, что область Ω ⊂ R3 – прямоугольный параллелепипед. В работах [1], [3] предложены некоторые численные методы решения задач (1)–(2) в переменных «функция тока – вихрь скоростей». В [3] показано эквивалентность двух задач. Рассмотрим задачу (1)–(2) в переменных «функция тока – вихрь скоростей»:

(3)

со следующими начально-краевыми условиями:

(4)

Для ясности продемонстрируем граничное условие (4) в случае прямоугольной области. Пусть часть границы области лежит на оси x1 = 0. Тогда начально-краевые условия преобразуются следующим образом:

(5)

и

(6)

Исходная система уравнений с малым параметром имеет вид:

(8)

с начально-краевыми условиями:

(9)

Определение обобщенного решения задач (8), (9) дается аналогично [2].

Теорема 1.

Тогда существует хотя бы одно обобщенное решение задачи (8)-(9) и для него имеет место оценки:

Теорема 2. Обобщенное решение задачи (8)–(9) сходится к обобщенному решению задачи (3), (5), (6) при ε → 0 со скоростью