Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,021

ITERATION MODELING OF QUAZI-FRACTAL CONFIGURATIONS OF THE INTERPHASE BORDERS BY MEANDER-LIKE GENERATORS ON 2D-NETS

Ivanov V.V. 1 Talanov V.M. 1
1 South-Russian state Еngineering University
Обсуждены методика и некоторые результаты моделирования вероятных конфигураций межфазных границ на поверхности композиционных материалов, полученные методом итерации меандроподобных кривых Коха на определенных сетках Кеплера и Кеплера-Шубникова.
The method and some modeling results of the possible configurations of inter-phase borders onto surface of a compositional materials received by iteration of meander-like Cokh’s curvers as a generators on the definite Kepler and Kepler-Shubnikov’s nets were discussed.
iteration modeling
meander-like generator
Kepler’s nets
Kepler-Shubnikov’s nets
quasi-fractal curves

Для получения итерационным методом квазифрактальной конфигурации межфазных границ на поверхности композиционных покрытий в [1, 2] использовали меандроподобный треугольный генератор К(4/3), а в качестве аппроксимантов конфигураций – сетки Кеплера. Для решения этой же задачи может быть использован меандроподобный прямоугольный генератор, например К(6/2), а в качестве аппроксимантов конфигураций межфазных границ – сетки Кеплера и некоторые сетки Кеплера-Шубникова, включающие {4}–тетрагоны с вершинными топологиями не ниже, чем 4(2). В случае сеток Кеплера-Шубникова моделируются также и лакунарные характеристики поверхности, такие как сайт-симметрия поверхностного распределения лакун и лакунарный спектр в виде гистограмм распределения лакун по размерам [3]. Ранее были опубликованы методики комбинаторного [4-6] и итерационного [7, 8] модулярного дизайна 2D-наноструктур и фрактальных структур в 2D-пространстве. Описана также методика формирования детерминистических фрактальных структур и мультифрактальных множеств замкнутых кривых в 2D-пространстве [2, 9].

Отметим, что генератор К(6/2) является первым членом как минимум двух разновидностей гомологических рядов меандроподобных генераторов, которые могут быть использованы при подгонке удельных характеристик межфазных границ при сохранении относительных поверхностей микрочастиц фаз (рис. 1). По мере увеличения порядкового номера генератора в каждом гомологическом ряду при итерации наблюдается закономерное увеличение длины квазифрактальной кривой в соответствии с соотношением Li = 3Li–1 и изменение ее хаусдорфовой размерности D в соответствии с зависимостью D = ln6n/ln2n. Фрактальная размерность кривой максимальна для первого члена данного ряда, а начиная со вторых членов ряда в представлениях (а) и (б) (рис. 1) размерности кривых D < 2 и закономерно уменьшаются от 1,792 до 1,001 при n → ∞.

pic_4.tif

Рис. 1. Два варианта изображения первых четырех членов гомологического ряда меандроподобных генераторов Коха К(6n/2n)

При итерации генератора К(6/2) на определенной сетке Кеплера-Шубникова происходит образование множеств изолированных лакун, которые представляют собой мультифракталы типа канторовой пыли (рис. 2).

pic_5.tif

Рис. 2. Слева – изображения прямоугольного генератора К(6/2), схемы его действия внутри изолированной {4}-лакуны сетки Кеплера-Шубникова 444 с вершинной топологией {4}-тел 4(3) и фрагмента соответствующего лакунарного предфрактала 3-го поколения. Справа – изображения прямоугольного генератора К(12/4), схем его действия внутри (4}-гона сетки Кеплера 4444 с вершинной топологией 4(4) (а) и (4}-лакуны сетки Кеплера-Шубникова 44 с вершинной топологией 4(2) (б), а также соответствующих фрагментов предфракталов 3-го поколения

Использование последующих генераторов гомологического ряда по варианту (а) (см. рис. 1) на периметрах сеток Кеплера и Кеплера-Шубникова приводит к образованию множеств однотипных и по-разному ориентированных фигур, уложенных в плоскости по принципу паркетов, либо к образованию тех же множеств фигур, которые представляют собой паркетные мозаики с использованием множеств однотипных лакунарных фигур с достаточно богатыми лакунарными спектрами (см. рис. 2).

Использование генераторов по варианту (б) с n > 2 (см. рис. 1) на периметрах тех же плоских сеток приводит к образованию как минимум двух типов мультифрактальных множеств фигур:

1) мультифракталов типа канторовой пыли и множества фигур-фракталов,

2) тех же мультифрактальных множеств, совместно упакованных в двумерном топологическом пространстве с мультифрактальными множествами лакунарных фигур, также обладающими богатыми лакунарными спектрами.

Полученные результаты моделирования вероятных квазифрактальных конфигураций межфазных границ, а также лакунарные характеристики образующихся множеств фракталов и мультифракталов могут быть использованы при определении параметров синергической модели «концентрационной волны» для расчета трибологических свойств поверхности композиционных покрытий.