Введение

Проектирование современных летательных аппаратов (ЛА) представляет собой многоуровневый процесс, характеризующийся высокой степенью неопределенности на начальных этапах и необходимостью учета сложных взаимосвязей между различными подсистемами. Одной из ключевых задач предварительного проектирования является формирование оптимального облика ЛА, что требует одновременного обоснования как его структуры (компоновочной схемы, состава систем), так и численных значений проектных параметров. Традиционные подходы к оптимизации зачастую разделяют структурный и параметрический синтез, что может приводить к потере системного эффекта и увеличению числа итераций проектирования. В условиях роста сложности авиационной техники и ужесточения требований к эффективности, актуальной становится задача разработки методов, позволяющих проводить совместный структурно-параметрический синтез. Особую проблему при этом составляет высокая размерность пространства проектирования и наличие скрытых зависимостей между параметрами, которые могут избыточно усложнять математическую модель. Существующие методы восстановления функциональных зависимостей часто ограничиваются внутренними критериями точности, что не всегда гарантирует адекватность модели при изменении внешних условий. В связи с этим возникает необходимость применения аппарата статистического синтеза и введения понятия «виртуальных проектных связей» для выявления наиболее значимых и независимых факторов, определяющих облик будущего аппарата.

Цель исследования – обоснование состава вектора варьируемых проектных параметров, которые определяющим образом влияют на результат решения задачи. Для такого обоснования разработан метод статистического синтеза, по которому в классе тригонометрических полиномов устанавливаются виртуальные проектные связи между всеми «кандидатами» в проектные параметры. Вводится понятие порогового значения между виртуальными проектными связями. Если критерий регулярности между анализируемыми параметрами меньше заданного порогового значения, то эти параметры имеют достаточно «сильную» виртуальную связь, и один из этих параметров может быть исключен из дальнейшего рассмотрения в качестве базисного параметра.

Необходимо с помощью аппарата статистического синтеза обосновать состав вектора варьируемых параметров исходя из условий:

1) варьируемые проектные параметры должны быть независимы между собой;

2) через выбранные проектные параметры должны определяться все остальные характеристики летательного аппарата.

Материал и методы исследования

Математическая модель

проектируемой сложной технической системы может быть представлена как система частных математических моделей, описывающих отдельные подсистемы ЛА. Здесь PM – множество математических моделей, которые формируются в результате работы статистического синтеза, r – количество рассматриваемых подсистем ЛА. Mi может быть представлена в форме системы уравнений и неравенств [1]. В качестве аргументов такой системы выступают n входных параметров статистической выборки, тогда как значения системы соответствуют вектору выходных характеристик размерности s. Совокупность этих уравнений и неравенств описывает функциональные зависимости, которые строятся на основе определенного функционального базиса. Такой базис может включать степенные и экспоненциальные функции, гармонические составляющие, дробно-рациональные полиномы и другие типы функций.

Внешние критерии определяют универсальность методов восстановления функциональных связей. Понятие «внешний критерий» имеет глубокую связь с теоремой Гёделя [2] о неполноте: согласно этой теореме, для доказательства любого утверждения требуется привлечение дополнительной информации, расширяющей исходную аксиоматическую систему. В терминологии теории оптимальной сложности понятие «доказательство» соотносится с процедурой восстановления модели, а «расширение аксиоматической системы» означает использование новых данных, не задействованных при первоначальном построении модели. Таким образом, можно выделить две категории критериев. К внутренним относятся те, что вычисляются по точкам выборки, использованным при построении модели. Внешние же критерии рассчитываются на данных, не участвовавших в обучении. Принципиальное преимущество внешних критериев состоит в том, что при последовательном усложнении модели они достигают минимума на единственной модели оптимальной сложности. При этом чем более выражен этот минимум, тем надежнее полученная модель.

Модель проектируемой сложной технической системы удобно представить в виде неориентированного графа, где вершины соответствуют рассчитываемым характеристикам, а ребра отражают связи между характеристиками, параметрами и исходными данными.

Таблица 1

Исходные данные ЛА

Примечание: составлена авторами на основе полученных данных в ходе исследования.

Если математическая модель построена корректно, то помимо связи между входными и выходными характеристиками существует также связь между промежуточными и выходными параметрами. Это позволяет строить выборку относительно любой пары вершин графа, используя одну из них как источник входной информации, а другую – как выходной.

На основе сформированных псевдовыборок методами статистического синтеза могут быть получены формальные функциональные связи, допускающие дальнейшую структурную корректировку на основе критериев верхнего уровня. Фактически здесь реализуется структурно-параметрический синтез сложной системы. Такой подход позволяет устанавливать функциональные зависимости между произвольными характеристиками системы и ее подсистемами.

В настоящей работе рассматривается математическая модель летательного аппарата с исходными данными, представленными в табл. 1.

В качестве начального вектора варьируемых проектных параметров принимается

D = (Pк , Pа , ṁ, Sвх , Sкр)N ,

где Pк – давление внутри камеры сгорания ракетного двигателя на твердом топливе (РДТТ), Pа – давление на срезе сопла РДТТ, ṁ – расход топлива ПВРД, Sвх – площадь входного сечения воздухозаборного устройства (ВЗУ), Sкр – площадь крыла.

На варьируемые параметры накладываются параметрические ограничения:

5 МПа ≤ Pк ≤ 15 МПа

90 КПа ≤ Pа ≤ 100 КПа

0,4 кг/с ≤ ṁ ≤ 0,58 кг/с

0,04 м2 ≤ Sвх ≤ 0,056 м2

0,9 м2 ≤ Sкр ≤ 0,99 м2

В качестве критерия оптимальности принята дальность полета ЛА. Кроме того, необходимо провести статистический анализ виртуальных проектных связей между проектными параметрами. Траектория полета аппарата на максимальную дальность описывается следующим образом: старт ЛА на высоте 15 км, разгон по прямой, маршевый участок с набором высоты, дальнейшее движение с включенным прямоточным воздушно-реактивным двигателем (ПВРД), а также пассивный участок полета.

Таким образом, решается следующая система уравнений [3–5]:

Здесь m – масса ЛА; V – скорость движения ЛА; θ – угол наклона траектории; x – дальность полета по оси OX; y – дальность полета по оси OY; α – угол атаки; Xa – осевая сила (сила лобового сопротивления); Ya – аэродинамическая нормальная сила (подъемная сила).

В данной работе рассматривается ЛА, оснащенный РДТТ и ПВРД для стартового и маршевого участков траектории соответственно [6].

Аэродинамические силы определяются как [7–9]:

Плотность воздуха зависит от высоты полета:

ρ0 = 1,25 кг/м3.

Для изолированного ПВРД идеальная тяга сопла рассчитывается следующим образом [10–12]:

Rсид =

Здесь ṁ – расход газа на срезе сопла; pH – давление на срезе сопла; Cc – скорость газового потока на срезе сопла; pc – давление среды; Fc – площадь среза сопла.

Тяга сопла с учетом потерь импульса:

,

где Ic – коэффициент потери импульса в сопле.

Необходимо решить задачу вида [13; 14]

где d = (Pк , Pа , ṁ, Sвх , Sкр)N – вектор проектных параметров.

Максимизация дальности полета ЛА осуществляется по статистической выборке, представленной в табл. 2.

Проведем над выборкой из табл. 2 операцию редукции, в результате чего получим пять одномерных выборок. После этого для нахождения коэффициентов Фурье воспользуемся тригонометрическим полиномом [15]

где x – независимая переменная, n – степень полинома, k – номер текущей гармоники, a0 – свободный член, ak, bk – коэффициенты Фурье, w – частота процесса.

После установления проектных связей необходимо вычислить коэффициент регулярности,

где yтаб,i – реальное значение из статистической выборки (табличная величина), yмод,i – значение, полученное из тригонометрической формулы (модельная величина).

Результаты исследования и их обсуждение

По разработанной математической модели была составлена программа на языке программирования Python, результаты работы которой сведены в табл. 3.

Таблица 2

Статистическая выборка

Примечание: составлена авторами на основе полученных данных в ходе исследования.

Таблица 3

Результаты процесса оптимизации дальности полета

Примечание: составлена авторами на основе полученных данных в ходе исследования

Таблица 4

Выборка площади крыла и дальности полета

Примечание: составлена авторами на основе полученных данных в ходе исследования.

Таблица 5

Выборка площади входа воздухозаборного устройства и площади крыла

Примечание: составлена авторами на основе полученных данных в ходе исследования.

Таблица 6

Выборка массового расхода ПВРД и площади входа воздухозаборного устройства

Примечание: составлена авторами на основе полученных данных в ходе исследования.

Таблица 7

Выборка давления на срезе сопла РДТТ и массового расхода ПВРД

Примечание: составлена авторами на основе полученных данных в ходе исследования.

Таблица 8

Выборка давления на срезе сопла РДТТ и массового расхода ПВРД

Примечание: составлена авторами на основе полученных данных в ходе исследования.

По полученной выборке была проведена операция редукции, в результате чего были получены пять одномерных выборок, представленные в табл. 4–8.

Из конструкции критерия регулярности следует, что чем меньше критерий регулярности, тем «сильнее» проектная связь между входными и выходными параметрами. Значения критерия регулярности для различных связей представлены в табл. 9.

Тригонометрический полином, полученный по выборке из табл. 8, имеет вид

Тригонометрический полином, полученный по выборке из табл. 7, имеет вид

Тригонометрический полином, полученный по выборке из табл. 6, имеет вид

Тригонометрический полином, полученный по выборке из табл. 5, имеет вид

Тригонометрический полином, полученный по выборке из табл. 4, имеет вид

Таблица 9

Ранжирование проектных параметров по критерию регулярности

Примечание: составлена авторами на основе полученных данных в ходе исследования.

Примем пороговое значение критерия регулярности равным 0,5%, то есть виртуальные проектные связи считаются зависимыми, если соответствующий критерий регулярности меньше порогового значения. Таким образом, в качестве независимых проектных параметров в математической модели ЛА следует оставить массовый расход ПВРД ṁ, давление на срезе сопла РДТТ Pа и площадь входа ВЗУ Sвх. Соотношение дальности полета L к площади крыла Sкр не является сочетанием параметров, и поэтому эта статистика L к Sкр в селекции проектных параметров не участвует.

Заключение

Разработан метод структурно-параметрического синтеза оптимального облика ЛА, позволяющий уменьшить избыточность проектных параметров, которая характерна на этапе предпроектных исследований. Средствами статистического синтеза восстанавливаются виртуальные проектные связи, которые позволяют оценить взаимосвязи между отдельными проектными параметрами.

Уровень критичности взаимосвязи оценивается по статистическому критерию регулярности. Параметры связей, при которых критерий регулярности ниже порового значения, исключались из проектного базиса.

Показана эффективность такой селекции. Из исходного вектора проектных параметров (давление в камере сгорания РДТТ, давление на срезе сопла РДТТ, массовый расход ПВРД, площадь входа ВЗУ и площадь крыла) были исключены давление в камере сгорания и площадь крыла. Таким образом, был получен рациональный проектный базис.