Введение

Массовые мероприятия в настоящее время являются неотъемлемой частью современной жизни. С целью снижения риска возникновения чрезвычайных ситуаций при проведении таких мероприятий посетителям приходится входить через контрольно-пропускные системы, в частности турникеты. Грамотное планирование количества и места расположения таких систем позволяет повысить уровень удобства и безопасности и избежать больших очередей на входе в зону проведения мероприятия. С этой целью необходимо математическое моделирование потока посетителей, прибывающих к месту события.

В настоящее время существуют различные модели пешеходных потоков: микроскопические, мезоскопические и макроскопические [1, 2]. Каждая из них позволяет решать определенные задачи, использует различную степень детализации исходных данных.

Микроскопические модели требуют подробной детализации, учитывают поведение каждого человека и взаимодействие людей друг с другом. Макроскопические моделируют пешеходный поток в целом и оперируют такими данными, как скорость, плотность и интенсивность. Мезоскопическое моделирование сочетает микроскопические и макроскопические аспекты, то есть рассматривает отдельного человека с точки зрения всего потока.

Актуальной задачей является разработка теоретически обоснованных подходов выбора технических решений по установке контрольно-пропускных систем при проведении массовых мероприятий.

Целью исследования является разработка численных методов моделирования потока посетителей при проведении массовых мероприятий.

Материалы и методы исследования

При моделировании прохождения потока посетителей через контрольно-пропускную систему возможно применение теории массового обслуживания [3, с. 6]. С точки зрения приведенной выше классификации такие модели можно отнести к мезоскопическим. Теория массового обслуживания применяется для исследования процессов, протекающих в сложных стохастических системах.

Перед началом массового мероприятия в целях его безопасности посетители проходят через турникет. Образуется общая очередь у входа с n турникетами. То есть моделью прохода через турникет является многоканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью. Время обслуживания можно считать распределенным по показательному закону. Однако поток заявок нельзя считать стационарным в данном случае. Согласно проведенным исследованиям [4, с. 44], интенсивность потока посетителей монотонно возрастает от нуля до некоторого максимума. Максимум достигается за 10–15 минут до начала события. Затем снижается до нуля.

Для моделирования системы массового обслуживания (СМО) с переменной интенсивностью входящих потоков в ряде работ [4, с. 50] предлагается применять аппроксимацию интенсивности входящего потока с помощью кусочно-непрерывных функций. В этом случае можно представить работу нестационарной СМО как последовательную работу стационарных СМО, каждая из которых подключается в тот момент, когда окончена работа другой. Изменяться будут начальные условия, то есть значения вероятностей пребывания системы в определенном состоянии.

Наиболее важными характеристиками, которые требуется получить, являются следующие: максимальная длина очереди; максимальная длительность ожидания в ней; периоды времени, в которые длина очереди достигает максимальной длины и время ожидания оказывается максимальным; число обслуженных к моменту начала массового мероприятия заявок; время, затраченное на обслуживание всех поступивших аявок.

Результаты исследования и их обсуждение

1. Составление системы дифференциальных уравнений для вероятностей состояний

Моделью похождения людей через турникет при входе на мероприятие можно считать СМО вида Ek / M / m / n. То есть входящий поток заявок (поток посетителей, подходящих ко входу на мероприятие) – это поток Пальма с распределением интервалов по времени между подряд идущими событиями по закону Эрланга порядка k. Обслуживание заявок (проход через турникет одного посетителя) распределено по показательному закону. Имеется m турникетов (обслуживающих приборов). Место в очереди ограничено (можно принять n = 100 – 150.

Составим систему дифференциальных уравнений для состояний системы. Обозначим Um состояние, при котором в системе находится m требований. Для марковизации процесса будем использовать метод псевдосостояний [5, с. 214]. Входящий поток специального распределения Эрланга можно представить в виде суммы k показательных распределений с параметром λ.

Рис. 1. Псевдосостояния распределения Эрланга порядка k

Псевдосостояния для Um изображены на рис. 1.

Составим дифференциальные уравнения для нахождения вероятностей пребывания системы в состояниях Um [6, c. 56]. Граф состояний изображен на рис. 2.

Рис. 2. Граф состояний СМО Ek / M / m / n

В дальнейшем будем обозначать ps(0) = ps для всех s.

1) Um+i все каналы заняты, i требований в очереди.

Обозначим Pn+i (t +∆t) – вероятность нахождения в очереди i требований в момент (t +∆t).

Pn+i (t + ∆t) ≈ P(A) + P(B) + P(C), (1)

где А = {система была в состоянии (m + i), и ничего не случилось за время ∆t};

В = {система была в состоянии (m + i – 1), и пришло очередное требование за время ∆t};

С = {система была в состоянии (m + i – 1), и за время ∆t освободился один из каналов обслуживания}.

. (2)

Разделим на ∆t:

(3)

При ∆t → 0 получим систему дифференциальных уравнений:

, (i = 1, 2, … ,n – 1). (4)

2) Us – нет очереди и заняты s (s ≤ m) каналов обслуживания

Ps(t + ∆t) – вероятность нахождения системы в этом состоянии. Система будет находиться в состоянии Us если произойдут следующие события:

А = {за время ∆t не прибыло ни одно требование и не освободился ни один из m каналов обслуживания};

B = {освободился один из (s + 1)-го занятого канала обслуживания};

C = {в момент t были заняты (s – 1) канал обслуживания, и за время ∆t прибыло одно требование}.

(5)

Отсюда получаем дифференциальное уравнение:

(s = 1, 2, … ,m). (6)

3) U0 – система полностью свободна.

Аналогично предыдущему, получается уравнение

. (7)

4) Um+n – все каналы заняты, в очереди n заявок.

Псевдосостояние Um+n состоит из одного подмножества .

Для вероятности pm+n(t +∆t) получаем уравнение

. (8)

Отсюда

. (9)

5) нахождение в псевдосостоянии Us

Для вероятностей ps(j)(t) пребывания в транзитивных состояниях us(j) справедливо

. (10)

Разделим на ∆t и найдем предел при ∆t → 0:

. (11)

Итак, для определения неизвестных вероятностей получаем систему дифференциальных уравнений:

. (12)

2. Представление переменной интенсивности в виде кусочно-стационарной функции

Для моделирования нестационарного потока посетителей в случае, когда интенсивность потока меняется с течением времени, представим его в виде куочно-непрерывной функции. Для этого разобъем всю временную ось на интервалы [ti–1; ti]. И будем считать на каждом из них интенсивность поступления заявок постоянной. В этом случае стационарными будут и значения параметров Эрланга на каждом таком интервале. Для i-го интервала обозначим их λi и ki.

Тогда с помощью функции Хэвисайда можно записать зависимость параметров распределения от времени следующим образом:

, (13)

(14)

где

Тогда для вычисления характеристик качества функционирования СМО применяются формулы

– зависимость длины очереди от времени;

зависимость ожидания в очереди от времени.

Таким образом, для решения поставленной задачи надо решить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для стационарной СМО при произвольных начальных условиях и записать вероятности pn(t) через функцию Хэвисайда.

Для определения неизвестных вероятностей СМО на каждом из интервалов [ti–1; ti] требуется решить систему дифференциальных уравнений (12). Начальные условия имеют вид

pg(0)(0) = 1, pm(j) = 0 (m = 0, 1, 2, ..., g–1, g+1, , …; j = 1,…, k, j = 1,2,3,…, q). (15)

Номер g вероятности pg(0)(0), отличной от нуля в начале нового временного интервала [ti–1; ti], определяется из условия g = [M(X(t))] – целая часть от математического ожидания числа заявок X(t) в системе на предыдущем временном интервале [ti–2; ti–1].

Следует учитывать, что

1) в наших обозначениях pm(0) = pm для всех m;

2) rm(t) = P(Um), то есть rm(t) – вероятность пребывания системы в состоянии Um ;

3) согласно законам теории вероятностей: .

3. Численное решение системы дифференциальных уравнений

Возможны различные численные решения [7] полученной системы дифференциальных уравнений (12).

1 способ. Решить систему линейных дифференциальных уравнений (12) можно, например, методом Эйлера. Введем следующие обозначения:

,

,

,

.

Расчетные формулы будут иметь вид

(16)

pg(0)(0) = 1, ps(j) = 0 (s = 0, 1, 2, .., g–1, g+1, , …; j = 1,…, k, j = 1,2,3,…, q)

где h – шаг интегрирования, s – номер итерации.

Или методом Рунге – Кутты, например, четвертого порядка:

. (17)

Здесь используются следующие обозначения для l = 0,1,…,m+n:

(18)

А также

(19)

Этот метод на каждом шаге требует четырех вычислений правой части дифференциального уравнения. Но так как он четвертого порядка, то приводит к уменьшению вычислительной погрешности.

2 способ. Численно-аналитический метод решения системы линейных дифференциальных уравнений.

Система линейных однородных дифференциальных уравнений (12) в матричном виде примет вид

P(t) = A ∙ P(t). (20)

Причем матрица А – трехдиагональная. Для трехдиагональной матрицы можно найти собственные значения, используя стандартный алгоритм:

1 шаг: находим характеристический многочлен det(A – λE) = 0

Для трехдиагональной матрицы существует специальный способ вычисления определителя det(A – λE) без явного выражения в виде многочлена.

Пусть Dm(λ) – главный минор m-го порядка матрицы (A – λE). Тогда:

– разложение минора по последней строке.

Дополнительный минор Mm.m–1(λ) для элемента am.m–1 в последнем столбце содержит один ненулевой элемент a m–1.m. Поэтому его можно разложить по этому столбцу:

.

Итак, получаем рекуррентную формулу для вычисления миноров:

, . (21)

2 шаг: находим корни характеристического многочлена.

Корни многочлена Dn(λ) можно найти, например, методом парабол.

3 шаг: выписываем решение системы, используя аналитический подход для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Следует отметить, что нахождение решения системы (12) в данном случае, в отличие от численного метода, дающего конечный набор точек, представляет собой построение процедуры, позволяющей определить вероятности состояний в произвольный момент времени [7].

Заключение

Анализ опыта организаций масштабных массовых мероприятий показывает огромную значимость грамотной организации управления потоками посетителей. Для эффективного использования контрольно-пропускной системы необходимо установить соответствие между параметрами системы и характеристиками пешеходного потока. Один из методов, который позволяет это сделать, рассмотрен в данной работе. В силу большой размерности системы, возможно только численное ее решение. С этой целью приведены два различных способа ее решения.