Моделирование и планирование территорий, зданий и сооружений с учетом пешеходных потоков стало очень значимым в последнее время. В качестве примера можно привести здания аэропортов, торговых центров, ночных клубов, спортивных и концертных площадок. При их проектировании должна учитываться также возможность максимально безопасной эвакуации в случае чрезвычайных происшествий.

С этой целью разрабатываются модели пешеходных потоков, изучается и моделируется поведение людей в стандартных штатных ситуациях и в случае паники. В течение последних сорока лет разработана масса моделей различной степени детализации, для различных областей применения. Микроскопические модели определяют позицию и поведение отдельных пешеходов. Среди них следует отметить модель социальных сил и модель клеточных автоматов [1; 2] как наиболее популярные. Мезоскопические модели решают проблемы определения вероятности возникновения и величины очередей, скорости отдельных пешеходов, дистанции между ними. К ним относят, например, модель Больцмана. Макроскопические модели определяют глобальные параметры потока, такие как скорость и плотность [3; 4].

Несмотря на то что пешеходный поток гораздо менее организован, чем транспортный, существует феномен самоорганизации пешеходного потока [2; 5]. То есть без участия внешнего воздействия по прошествии некоторого времени поток пешеходов, движущихся в данном направлении, приобретает достаточно устойчивые параметры.

Актуальной задачей является разработка математической модели, позволяющей определять параметры плотных пешеходных потоков для управления ими в режиме реального времени.

Целью данной работы является разработка аналитического аппарата, позволяющего на мезоскопическом уровне определять параметры плотного пешеходного потока в случае эвакуационных сценариев.

Материалы и методы исследования

Многие модели пешеходных потоков на макроскопическом и мезоскопическом уровне построены по аналогии с потоками транспортных средств. С учетом эффекта самоорганизации потока пешеходов можем рассматривать его как случайный поток событий. Под событием будем понимать достижение пешеходом точки пространства с фиксированной координатой по направлению движения потока. Интервал между событиями – это время между двумя последовательными прибытиями пешеходов к линии с данной фиксированной координатой. По данным многочисленных исследований, плотный поток пешеходов согласуется с нормальным распределением. Для получения возможности применять методы теории массового обслуживания будем считать поток пешеходов подчиненным закону Эрланга, который при значении параметра k ≥ 5 близок к нормальному закону распределения. Аналогичная гипотеза была принята и подтверждена экспериментально автором данной статьи в модели транспортных потоков TIMeR_Mod [6].

Результаты исследования и их обсуждение

Как мы уже отметили, закон Эрланга при значениях параметра k ≥ 5 близок к нормальному и соответствует плотным потокам событий. Поэтому при эвакуации из мест массового скопления людей по узким коридорам поток пешеходов будем аппроксимировать законом Эрланга (как и транспортный). Для получения параметров эффективности эвакуации пешеходных потоков будем применять методы теории массового обслуживания и теории случайных процессов [7; 8].

1. Моделирование пешеходного потока как системы массового обслуживания

Пусть время обслуживания распределено по показательному закону с параметром μ. Поток заявок распределен по обобщенному закону Эрланга с параметрами λ0, λ1,…, λк порядка (k + 1). Обслуживаться могут не более n требований одновременно. Как известно, поток Эрланга порядка (k + 1) получается из простейшего, если оставить каждое (k + 1)-е событие, а промежуточные k отбросить. Поэтому для нахождения вероятности того, что обслуживается m (n > m) требований, применим метод псевдосостояний (рисунок).

В работе автора [9] при рассмотрении транспортных потоков уже были выведены формулы для выражения вероятности пребывания системы в данном псевдосостоянии. Поэтому сейчас воспользуемся готовым результатом.

Введем следующие обозначения:

pn(t), pn+1(t), …, pn+i(t), … пребывания системы в состояниях s0, s1, …, si, … соответственно;

Un+i – состояние системы, при котором все n каналов обслуживания заняты, в очереди i требований;

– вероятность пребывания системы в транзитивном состоянии ;

– вероятность нахождения в очереди i требований в момент t.

Дифференциальные уравнения для определения вероятностей нахождения системы в транзитивных состояниях Un+i имеют вид:

(1)

Система дифференциальных уравнений для нахождения вероятностей наличия i требований в очереди:

2)

Дифференциальное уравнение для момента, когда нет очереди и заняты m (m ≤ n) каналов обслуживания (состояние Um):

(3)

Для момента, когда система полностью свободна, дифференциальное уравнение имеет вид:

(4)

Обозначим , то есть rm(t) – вероятность пребывания системы в состоянии Um . Согласно законам теории вероятностей:

(5)

Тогда средняя ожидаемая длина очереди в момент времени t:

(6)

Решение данной системы дифференциальных уравнений для стацинарного процесса приведено в работе автора [9], поэтому приведем готовый результат:

(7)

(8)

(9)

Показатели эффективности функционирования системы при условии (α/n) < 1 следующие:

1) вероятность нахождения не более s требований в очереди равна:

(10)

2) математическое ожидание числа требований в очереди:

(11)

При вычислении показателей эффективности применялся метод псевдосостояний, при котором временная ось «растягивалась» в (k + 1) раз. Поэтому для «состыковки» результатов примем:

(12)

2. Определение параметров пешеходных потоков перед эвакуационным выходом

В формулах (12) mZ – среднее время обслуживания одного клиента. Рассматривая поток пешеходов как поток Пальма, в котором интервалы по времени имеют (специальный) закон распределения Эрланга с параметрами k = 6 и λ, получим следующие значения параметров:

(13)

Для определения среднего количества пешеходов в очереди перед эвакуационным выходом и вероятности нахождения в очереди не более s пешеходов следует подставить в формулы (10) и (11) значения, определяемые по формуле (13).

Суммарный поток, полученный при слиянии s плотных пешеходных потоков можно также аппроксимировать с помощью (специального) закона Эрланга порядка k = 6. Второй параметр распределения при этом определяется как сумма исходных:

(14)

Если при этом среднее время эвакуации через каждый из n выходов равно mZ, то среднее количество людей, скопившихся у выхода, вычисляетя по той же формуле:

(15)

где

3. Определение функции распределения суммарного потока, получаемого при слиянии s плотных пешеходных потоков

В пункте 2 для определения количества пешеходов в очереди мы предположили, что суммрный поток также имеет распределение Эрланга. Если требуется определить вероятность того, что за время T0 к точке пространства с фиксированной координатой в суммарном потоке не подойдет ни один пешеход, следует более точно определить функцию распределения суммарного потока.

Для вывода функции распределения интервалов по времени в суммарном потоке воспользуемся методом, приведенным в работе [7]. Пусть τ* произвольная точка в суммарном потоке , не совпадающая ни с одним из событий в независимых потоках . Тогда время, оставшееся до появления очередного события в суммарном потоке, равно .

В случае справедливости гипотезы о распределении интервалов в потоке по закону Эрланга, согласно теории случайных процессов, вероятности того, что время Q, прошедшее после последнего прибытия автомобиля, и время R, оставшееся до очередного прибытия, меньше некоторого наперед заданного значения Т0, выражаются формулами:

(16)

Здесь приняты обозначения:

(17)

Итак, функция распределения времени, оставшегося до наступления очередного события в потоке Эрланга порядка ki, имеет вид:

(18)

Функция распределения минимальной из s случайных величин определяется по формуле:

(19)

Функция распределения интервалов по времени T(s) в суммарном потоке П(s) определяется по формуле:

(20)

Математическое ожидание интервала между событиями в потоке Пi равно . Тогда

(21)

Найдем плотность распределения

(22)

В частности, если сливаются два потока Пальма, интервалы по времени в котором распределены по (специальному) закону Эрланга порядка k = 6 с параметрами λ1 и λ2, то

(23)

Найдем производную, подставим в формулу (23) и упростим:

(24)

Таким образом, функция распределения интервалов по времени в потоке, полученном при слиянии двух пешеходных потоков, распределенных по закону Эрланга порядка k = 6 с параметрами λ1 и λ2, следующая:

(25)

где функция определяется по формуле (24), а математическое ожидание интервала между событиями равно:

(26)

Вероятность того, что за время T0 к точке пространства с фиксированной координатой в суммарном потоке не подойдет ни один пешеход:

(27)

А вероятность противоположного события, то есть того, что пойдойдет хотя бы один:

(28)

Заключение

Представленная модель пешеходного потока позволяет в режиме реального времени по минимальному количеству исходных данных определять отдельные параметры эффективности организации эвакуационного процесса. Кроме того, ее можно применять при организации улично-дорожного движения с целью определения задержек транспортных средств и пешеходов у перекрестков. Преимущество модели перед имитационными микромоделями заключается также в скорости расчетов с ее помощью благодаря аналитическому аппарату.