Указание границ толерантных интервалов является одним из основных условий международной сертификации промышленных изделий.

Толерантный интервал – интервал, определяемый по выборке, относительно которого можно утверждать с уровнем доверия γ, что он содержит, по крайней мере, указанную долю p0 совокупности.

Границы статистического толерантного интервала – толерантные границы.

Уровень доверия γ = 1 – α – это вероятность того, что толерантный интервал будет содержать не менее p0•100 % совокупности.

Вероятность попадания СВ Х с функцией распределения FX(x) в интервал [L, U] равна FX(U) – FX(L). То есть границы толерантного интервала – это решение уравнения

для двустороннего интервала [L, U] и

для односторонних интервалов (–∞; U] и [L; +∞) соответственно.

Обычно двусторонние толерантные интервалы ищутся в форме [M – kσ; M + kσ], односторонние – в форме или .

На данный момент достаточно полно изучен вопрос оценки толерантных пределов, как двусторонних, так и односторонних, для некоторых известных распределений.

Так, в работах [1] выводятся оценки толерантных пределов нормально распределенной генеральной совокупности, в работах [1, 2] рассматриваются оценки толерантных пределов показательно распределенных совокупностей. В ряде работ предлагаются оценки толерантных границ для распределений Вейбула, Гаусса, логнормального распределения [3] сведением их к нормальному распределению.

Но в некоторых случаях априори вид распределения неизвестен. В этом случае необходимо либо предварительно выдвинуть гипотезу о виде распределения и проверить ее, что в случае ограниченной информации может вызвать затруднения, либо использовать непараметрические критерии для требуемых оценок.

Значительная часть результатов математической статистики основана на предположении о том, что информации, имеющейся у потребителя, достаточно для представления участвующих в задаче распределений в виде некоторых функций с конечным числом параметров. Однако на практике это предположение часто оказывается невыполнимым. Потребности в создании статистических процедур, не предполагающих знание вида распределений, отвечает ветвь математической статистики, получившая название непараметрическая статистика. Непараметрическая статистика рассматривает только такие ситуации, в которых о функциональном виде распределений ничего не известно. Теория непараметрического оценивания плотности распределения широко представлена в работах Л. Девроя и Л. Дьёрфи, Парзена, Розенблатта, Ш. Закса, Хансена и Кумпенса. Обзор укакзанных методов приведен в [2]. Оказалось, что, несмотря на малый объем априорной информации, используемой при построении непараметрических процедур, они обладают высокой эффективностью. Потери эффективности при переходе от параметрических к непараметрическим процедурам (в случае истинности параметрической модели) незначительны и довольно часто составляют всего несколько процентов. Эффективность непараметрической процедуры по сравнению с фиксированной параметрической резко возрастает при отклонении истинных распределений от расчетных. В большинстве случаях непараметрические процедуры оказываются асимптотически оптимальными.

Материалы и методы исследования

Широко известна [2] непараметрическая оценка толерантных границ с использованием β-распределения. Для упорядоченной выборки из произвольно распределенной генеральной совокупности решение неравенства определяет долю p генеральной совокупности, попадающей в интервал с вероятностью γ. Но полученная таким образом оценка жестко связывает долю p, доверительную вероятность γ и объем выборки n. То есть при одном и том же объеме выборки увеличение доли p ведет к уменьшению доверительной вероятности γ и наоборот.

Теория непараметрических доверительных и толерантных интервалов развивалась в исследованиях Уилкса, Оуэна, Гаттмена, Роббинса, Фрэзера, Барлоу и Прошана, Хансона и Кумпенса и других. В этих работах строятся функции специального вида, мажорирующие вероятность попадания случайной величины в заданный интервал, представленной в виде упорядоченной статистики. В основном эти оценки связаны с β-функцией.

В работах Хансена и Купменса [2] предлагается искать верхнюю толерантную границу для выборки Xi в виде

,

где коэффициент b является решением уравнения

В ряде отечественных работ [3–5] для непараметрических оценок используется ядерный метод получения функции распределения. Согласно указанной методике, функция плотности вероятности рассматриваемой случайной величины определяется формулой

(1)

где – выборка, полученная в результате наблюдений за исследуемым объектом; n – объем выборки; – ядерная функция, удовлетворяющая условиям регулярности

σ > 0 – параметр сглаживания, такой, что .

В качестве ядерной функции чаще всего выбираются следующие функции [6]:

– прямоугольное ядро;

– ядро Епанечникова;

– квадратическая ядерная функция.

В рассматриваемых функциях

Точность оценки зависит как от выбора функции-ядра, так и выбора параметра сглаживания. В работе [7] предложена методика поиска оптимального значения параметра сглаживания.

В работе [6] получена оценка доверительного интервала для теоретической функции плотности вероятности при n ≥ 100

и при небольших значениях n ≤ 100:

.

Результаты исследования и их обсуждение

Рассуждая аналогично [6], проведем оценку одностороннего толерантного интервала. Обозначим . Случайные величины η_i при каждом x независимы.

Согласно центральной предельной теореме, при больших значениях n, оценка функции плотности вероятности, как суммы независимых величин, является при каждом x нормально распределенной случайной величиной, т.е.

где

(2)

Соответственно, случайная величина имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и той же дисперсией:

Тогда

и при доверительной вероятности β:

(u_β – β-квантиль стандартного нормального распределения).

Окончательно получаем, что с вероятностью β верна оценка

или

При небольших значениях n используется распределение Стьюдента с n – 1 степенью свободы, т.е.

и

(3)

Пусть – оценка функции плотности вероятности f для случайной величины X, представленной выборкой . Оценка L нижней толерантной границы для доли p₀ с доверительной вероятностью γ является решением уравнения

(4)

Проинтегрировав неравенство (3) и выполнив необходимые оценки, получим

где

Другими словами, неравенство

верно с вероятностью β. Тогда, если верно неравенство

,

то с вероятностью β будет верно неравенство

,

т.е.

Следовательно, уравнение (4), определяющее значение оценки нижней границы L одностороннего толерантного интервала, верно в случае, если β = γ. Таким образом, оценку границы левостороннего толерантного интервала для доверительной вероятности γ можно найти как решение неравенства

(5)

при n ≤ 100 и неравенства

(6)

при n > 100.

Таким образом, получен алгоритм построения нижней толерантной границы с помощью ядерной оценки функции плотности.

1. Оценить выборочное среднее, выборочную дисперсию СВ, представленной выборкой . Выбрать оптимальное значение параметра сглаживания.

2. Найти промежутки ненулевых значений ядер: .

3. Определить на каждом из промежутков функцию

.

4. Определить на каждом из промежутков функцию F(x):

.

5. Определить значение статистики .

6. Определить дисперсию оценки по формуле (1).

7. Найти нижнюю толерантную границу, решив неравенство (5) ((6)).

Заключение

Для апробации была рассмотрена выборка, полученная в результате усталостных характеристик 78 экспериментальных образцов. Варианты выборки принадлежали отрезку [195, 230]. Были получены оценки нижней толерантной границы для γ = 0,95, p = 0,9 а) по формулам для случая нормально распределенной генеральной совокупности L = 191,44, б) по методу Хансена – Кумпенса L = 144,15, в) по предложенному алгоритму ядерной оценки L = 188,1.