В настоящее время в России начались исследования, посвященные математическому моделированию эффективного воздействия средств массовой информации на человека [1, 2], моделированию психологии человека [3], исследованию воздействия СМИ на человека [4] на основе анализа поведения цифровых двойников, являющихся роботами с неабсолютной памятью [5, 6]. Необходимость проведения численных экспериментов, основанных на методах математического моделирования, обусловлена важностью прогнозирования результатов формирования общественного сознания [6, 7].

Для математического описания эффективного формирования воспитания роботов воспользуемся теорией математического анализа [8].

Пусть n – количество полных воспитательных циклов [5] трансляции передачи, mn – количество непрерывных трансляций передачи в воспитательном цикле с номером n, kn – количество пропущенных трансляций в этом же воспитательном цикле, θn – коэффициент памяти робота (, ) в полном воспитательном цикле с порядковым номером n, qn – элементарное воспитание (эмоциональное воздействие) у робота – цифрового двойника, возникшее в результате ознакомления с передачей в полном воспитательном цикле с порядковым номером n.

Согласно работе [5] формулу воспитания цифрового двойника, полученного им в результате непрерывных трансляций mn в полном воспитательном цикле n, можем записать на основе соотношений

где

(1)

Постановка задачи определения наибольшего воспитания цифрового двойника

С учетом равенств (1) можно сформулировать следующую задачу: «Найти количество полных воспитательных циклов, количество непрерывных воспитательных тактов и количество фиктивных тактов в каждом полном воспитательном цикле, обеспечивающих наибольшее воспитание робота при завершении воспитания».

Последняя фраза математически описывается следующим образом:

найти

(2)

Пусть выполняются допущения

, , ,

, . (3)

В этом случае задача (2) эквивалентна следующей задаче:

найти

(4)

Так как справедливо соотношение , то задачу (3) можно записать в следующем виде:

найти

(5)

где , то есть

,

Решение оптимизационной задачи

Так как при выполнении условий (3) последовательность является монотонно возрастающей [5], то зафиксируем произвольное значение n и определим величины m и k, обеспечивающие при этом фиксированном n ≥ 2.

Нетрудно доказать справедливость формулы

(6)

Согласно равенству (6) можно сделать вывод о том, что большему значению коэффициента памяти θ, если робот является равномерно забывчивым с равноценными эмоциями, соответствует большее воспитание, полученное в результате воздействия на него равными полными воспитательными циклами, причем чем больше количество этих циклов, тем больше воспитание робота.

Нетрудно заметить, что соотношение является частичной суммой геометрической прогрессии со знаменателем . Частичная сумма этой геометрической прогрессии определяется формулой

, (7)

где n ≥ 2.

С учетом (7) равенство (6) примет вид

(8)

Анализируя формулу (8), можно сделать вывод о том, что, чем больше фиктивных тактов в равных полных воспитательных циклах, тем меньше воспитание робота. Согласно соотношению (8) справедливы свойства

,

.

Перейдя к пределу при в равенстве (8), получим соотношение

.

Таким образом, предельное воспитание равномерно забывчивого робота с равноценными эмоциями описывается формулой

В силу того, что последовательность Zn,m,k является положительной и монотонно возрастающей по параметру n, справедливо соотношение

.

Сформулируем и докажем ряд теорем.

Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) положительны и являются монотонно возрастающими, то функция монотонно возрастающая.

Доказательство.

Справедливо соотношение

Так как в силу условий теоремы 1 справедливы неравенства

,

то , а поэтому является монотонно возрастающей функцией.

Теорема доказана.

Теорема 2. Функция является монотонно возрастающей по параметру m.

Доказательство.

Пусть функция f(m) удовлетворяет соотношению , а .

Тогда справедливо равенство .

Легко видеть, что функция f(m) является положительной и монотонно возрастающей.

Также очевидна справедливость неравенства g(m) > 0.

Покажем, что функция g(m) является монотонно возрастающей.

Несложные преобразования позволяют получить формулу

Так как справедливо неравенство , то , то есть функция g(m) монотонно возрастающая.

А следовательно, в силу свойств функции f(m) согласно теореме 1 функция является монотонно возрастающей по параметру m.

Теорема доказана.

Теорема 3. Функция монотонна по параметру k, начиная с некоторого порядкового номера , где .

Доказательство.

Представим функцию Zn,m,k в виде , где функция f(k) удовлетворяет соотношению , а .

Согласно формуле производной от произведения функций справедлива цепочка соотношений

(9)

Пусть

(10)

После несложных преобразований соотношения (9) нетрудно показать, что справедливость неравенства (10) определяется справедливостью формулы

(11)

Перейдем в обеих частях соотношения (11) к пределу при , тогда получим

(12)

Очевидна цепочка соотношений

, (13)

если выполняются неравенства L ≥ 1 и b ≥ 1.

Раскроем неопределенность в соотношении (13) по правилу Лопиталя [4], тогда получим

(14)

Пусть , x = n –1, L = m + k, тогда согласно формуле (14) соотношение (12) примет вид

(15)

Однако при фиксированных положительных значениях m и k справедливо строгое неравенство , поэтому с учетом соотношения (15) получаем: 0 > 0, то есть справедлива формула , а значит, функция Zn,m,k является монотонно убывающей по параметру k, начиная с некоторого порядкового номера , где .

Теорема доказана.

Исходя из анализа доказанного свойства монотонного убывания функции Zn,m,k по параметру k, можно заключить, что одним из оптимальных параметров решения задачи (5) будет k = 1.

Таким образом, с учетом (8) целевая функция задачи (5) примет вид

(16)

Заключение

Таким образом, решением задачи (5) являются наибольшие значения n и m, обусловленные возможностями практики, и . Иными словами, этот вывод можно сформулировать следующим образом: «Для получения наибольшего воспитания робота – цифрового двойника с помощью средств массовой информации достаточно в полных воспитательных циклах после непрерывных трансляций передач медиа-проекта делать не более одного пропуска передач».