Теория краевых задач для уравнений смешанного типа в силу теоретической и прикладной важности является одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными и привлекает внимание многих исследователей, интересующихся как самой теорией, так и ее приложениями. В частности, многие математические модели тепло- и массообмена в средах, окруженных пористой средой, сводятся к краевым задачам для уравнений смешанного типа.

Необходимость рассмотрения уравнений гиперболо-параболического типа была замечена в 1959 г. И.М. Гельфандом при рассмотрении задачи, связанной с движением газа в канале, окруженном пористой средой. В канале движение описывается волновым уравнением, вне его – уравнением диффузии. Смешанные гиперболо-параболические уравнения лежат в основе математических моделей различных природных явлений. Локальные и нелокальные задачи для таких уравнений встречаются в теории распространения электромагнитных полей, при изучении математических моделей, описывающих влияние растительного покрова на теплообменные процессы в почве и приземном воздухе, при котором возникает необходимость исследования задачи для двух уравнений: уравнения Аллера переноса влаги, предполагающего бесконечную скорость распространения возмущения, и уравнения А.В. Лыкова [6], учитывающего конечную скорость.

Краевые задачи для уравнений нечетного порядка с кратными характеристиками возникают при изучении распространения нелинейных волн в слабодиспергирующих средах.

В настоящее время актуальность исследований нелокальных краевых задач для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа второго и более высокого порядков можно обосновать внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, получением новых результатов в теории дробного интегро-дифференцирования, а также их прикладным значением.

Цель исследования – доказать однозначную разрешимость задачи с дробными производными в краевом условии для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, содержащего уравнение А.В. Лыкова в гиперболической части.

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

(1)

где λ – действительная постоянная, причём в конечной области Ω ограниченной отрезками AA0, BB0, A0B0 прямых x = 0, x = 1, y = 1, лежащих в полуплоскости y > 0 и характеристиками уравнения (1).

Пусть , где I – интервал 0 < x < 1 прямой y = 0.

Задача.

Требуется найти функцию

являющуюся решением уравнения (1) при y ≠ 0 и удовлетворяющую условиям

0 ≤ y ≤ 1; (2)

(3)

(4)

где φi(y), i = 1, 2, 3, α(x), β(x), c(x), d(x), γ(x), ω(x), δ(x) – заданные функции, причем θ0(x), θ1(x) – точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) ∈ I с характеристиками AC, BC соответственно, – операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро-дифференцирования [10].

Задача (1)–(4) относится к классу краевых задач со смещением [7]. Задачи со смещением исследовались в работах [2–4, 7–9].

Теорема. В области Ω не может существовать более одного решения задачи (1)–(4), если

в Ω1, (5)

где N – постоянная величина, удовлетворяющая условию

b(x, y) > ρ > 0, b(x, 0) = const ≠ 0; (6)

(7)

а также либо

(8)

и выполняются условия

(9)

(10)

(11)

либо

(12)

(13)

(14)

Действительно, решение задачи Коши для уравнения (1) в области Ω₂ при имеет вид [1]

, (15)

где .

Удовлетворяя (15) условию (4) при выполнении условий теоремы (12)–(14), получим соотношение между τ(x) и ν(x), принесенное из области Ω₂ на I

(16)

Аналогично при выполнении условий (8)–(11)

(17)

Докажем, что решение задачи единственно при выполнении условий (12)–(14). Для этого покажем, что интеграл не может быть отрицательным.

В самом деле, при γ(x) = 0 из (16) получим соотношение

где

Следовательно,

Воспользуемся известной формулой для гамма функции [5]

Полагая в ней , получим

Откуда

Поменяв порядок интегрирования, а затем интегрируя по частям, в результате несложных вычислений будем иметь

(18)

При выполнении условий (12)–(14) теоремы единственности I* ≥ 0.

С другой стороны, переходя в уравнении (1) к пределу при y > +0, будем иметь

(19)

Подставляя ν(x) из (19) в при выполнении условий (5)–(7) теоремы получим

. (20)

Отсюда заключаем, что I* = 0. Поскольку слагаемые в правых частях (18) и (20) неотрицательны, то они также равны нулю. В частности, из (18)

Так как t ^–1/2 ≥ 0, то для всех t ∈ (0, ∞) в частности, при t = 2πk, k = 0, 1, 2... При этих значениях t функции sin tξ, cos tξ образуют полную ортогональную систему функций в L². Следовательно, ν(ξ) = 0 почти всюду, а так как ν(x) непрерывна по условию, то ν(x) = 0 всюду. Отсюда при γ(x) = 0 из (16) получим τ(x) = 0. Таким образом, решение задачи (1)–(4) u(x, y) ≡ 0 в Ω2 как решение Коши (15) с нулевыми данными, а в области Ω1 как решение однородной задачи (1)–(3).

Пусть теперь выполняются условия (9)–(11)теоремы. При γ(x) = 0 из (17) имеем

где

Вводя обозначения вычислениями, аналогичными предыдущим, получим

При выполнении условий (9)–(11) теоремы I* ≥ 0 и учитывая (20) можно заключать, что I* = 0. Отсюда следует, что τ_i(x) = 0, i = 1, 2 и, следовательно τ(x) = 0. Из (17) при γ(x) = 0 имеем ν(x) = 0. Таким образом, как и ранее, u(x, y) ≡ 0 в Ω.

Для доказательства существования решения задачи (1)–(4) проинтегрируем трижды равенство (18). В результате будем иметь

(21)

При выполнении условий (8)–(9) подставив ν(x) из (18) в (21) получим уравнение

(22)

где

выражаются через известные функции.

Уравнение (22) есть интегральное уравнение Фредгольма второго рода [1], безусловная разрешимость которого в требуемом классе функций следует из единственности решения задачи.

Решение уравнения (22) может быть найдено по формуле

где R(x, t) – резольвента ядра.

При выполнении условий (12)–(13) вопрос разрешимости задачи (1)–(4) также редуцирован к вопросу разрешимости уравнения Фредгольма второго рода относительно ν(x) со слабой особенностью в ядре и гладкой правой частью, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения задачи.