В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными теория локальных и нелокальных краевых задач для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений является одним из важнейших разделов, изучению которого посвящено немало публикаций. Повышенный интерес к уравнениям смешанного типа объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и многочисленными практическими приложениями в газовой динамике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеивания, в математической биологии. Они имеют большое значение при математическом моделировании нефтяных пластов, фильтраций грунтовых вод, переноса тепла и массы в объекте, имеющего сложное строение электрических колебаний в проводах и других областях.

Анализ литературы по гиперболическим уравнениям переноса влаги в пористых средах показал, что наиболее адекватными реальной ситуации моделями являются математические модели, в основе которых лежит уравнение А.В. Лыкова с младшим членом, учитывающим движение почвенной влаги под действием гравитационных сил

Одномерный поток влаги в капиллярно-пористом теле поликапиллярной структуры u = u(ξ, t) связан с влажностью w = w(ξ, t) в точке ξ в момент времени t обобщенным законом переноса влаги

где D – коэффициент диффузии; ρ – плотность; a0 – коэффициент пропорциональности, зависящий от пористости тела, его капиллярных свойств и вязкости жидкости.

Если u и w связаны законом сохранения массы

то получим систему дифференциальных уравнений. Производя замену

ρw = v; x = t/a0; y = ξ/a0,

а затем обозначив

a = –a₀/D,

где a – безразмерная величина, придадим системе следующий вид:

y²u_x + v_y – au = 0; v_x + u_y = 0.

Дифференцируя первое по x, а второе по y и исключив v(x, y), получим уравнение А.В. Лыкова для определения u(x, y)

y²u_xx – u_yy + au_x = 0.

Отметим, что это уравнение было приведено А.В. Бицадзе [1] как пример уравнения, для которого при корректна по Адамару задача Коши с начальными данными на любом участке x0 < x < x1 линии y = 0 параболического вырождения, хотя нарушено известное условие Геллерстедта, а А.М. Нахушевым [6] как пример уравнения, для которого при задача Дарбу не является корректной и характеристики не являются равноправными как носители граничных данных.

Цель исследования – доказать однозначную разрешимость задачи с дробными производными в краевом условии для вырождающегося гиперболического уравнения в характеристическом двуугольнике.

Постановка задачи. Рассмотрим уравнение влагопереноса

(1)

где a – действительная постоянная, причем , в характеристическом двуугольнике, ограниченном характеристиками уравнения (1)

Пусть I – интервал 0 < x < 1 прямой y = 0.

Задача: Найти решение

уравнения (1) из класса , удовлетворяющее условиям

(2)

(3)

и условию сопряжения , где bi(x), ai(x), ci(x), α(x), β(x) – заданные функции, причем bi(x), ai(x), α(x), i = 1, 2, – точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) ∈ I, с характеристиками AC, AD; – точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) с характеристиками BC, BD. Здесь и в дальнейшем – операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро-дифференцирования порядка α с началом в точке a [3, 10].

Доказательство единственности решения. Введем обозначения

Решение задачи Коши для уравнения (1) при имеет вид [1]

(4)

где i = 1, 2; Г(α) – гамма-функция Эйлера [3].

Удовлетворяя (4) краевым условиям (2) (3), получим соотношения между τ(x) и v_i(x), принесенные на из областей Ω1 и Ω1 соответственно

(5)

(6)

Теорема. В области Ω не может существовать более одного решения задачи (1)–(3), если либо

, (7)

либо α(x) ≡ 1,

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Доказательство. При ci(x) = 0 и выполнении условий (7) равенства (5), (6) примут вид

В силу принципа экстремума для гиперболических уравнений [1, 6] положительный максимум (отрицательный минимум) функции u(x, y) в достигается на . Пусть положительный максимум функции u(x, y) достигается в точке (x, 0) ∈ I. Пользуясь тем, что дробные производные , в точке положительного максимума строго положительны (в точке отрицательного минимума строго отрицательны) [6], получаем v1(x) < 0, v2(x) > 0. Это противоречит условию сопряжения при β(x) = 0, α(x) > 0.

При ci(x) = 0 и выполнении условий (8), (9) равенства (5), (6) примут вид

где

Рассмотрим интеграл

Вводя обозначения

с учетом формулы обращения интегрального уравнения Абеля [3] получим

Воспользуемся известной формулой для функции Г(μ) [4]

Полагая μ = 1/2 и поменяв порядок интегрирования, будем иметь

Отсюда, интегрируя по частям, с учетом того, что A1(1) = 0, B0(0) = 0, будем иметь

При выполнении условий (10), (11) теоремы единственности . Далее рассмотрим интеграл

Последнее с учетом предыдущих вычислений представимо в виде

Так же, как и при вычислении интеграла при выполнении условий (10), (12) теоремы единственности, нетрудно усмотреть, что . Так как при α(x) = 1, β(x) = 1 будет v1(x) = v2(x), то

Следовательно,

Из того, что t ^–1/2 ≥ 0, заключаем, что

для всех t ∈ [0, ∞), в частности при t = 2πk, k = 0, 1, 2, .... При таких значениях t функции sin tξ и cos tξ образуют полную ортогональную систему функций в L2.

Таким образом, τ(x) = 0, vi(x) = 0, i = 1, 2 почти всюду. А так как эти функции непрерывны по условию, то τ(x) = 0 и v_i(x) = 0 всюду. Отсюда Ui(x, y) = 0 в Ωi как решение задачи Коши с нулевыми данными и, следовательно, решение задачи (1)–(3) единственно.

Доказательство существования решения задачи. Исключая τ(x) из (5) и (6) при выполнении условий теоремы единственности и условий сопряжения, будем иметь

(13)

где

В результате преобразований вопрос существования решения уравнения (13) сведен к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши [5].

(14)

где

Условие

гарантирует существование регуляризатора, приводящего уравнение (14) к уравнению Фредгольма второго рода при A(x) ≠ 0.

Из возможности приведения задачи к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода и единственности искомого решения следует существование решения поставленной задачи. По найденному v2(x) определяется v1(x), а затем τ(x) и решения Ui(x, y) (i = 1, 2) задачи в областях Ωi, как решение задачи Коши по формуле (4). Нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений исследовались также в работах [2, 7–9].