Пусть малое тело массы m0 движется в поле тяготения центрального тела массы m1 и внешнего тела массы m2. Здесь m1 > m2 >> m0 и внешнего тело движется относительно центрального тела по окружности, тогда силовая функция плоской второй задачи Хилла имеет вид:

(1)

где – гравитационная постоянная, v – постоянный параметр, х, у – координаты малого тела, ρ2 = x2 + y2.

Силовая функция (1) учитывает поле тяготения шарообразного центрального тела и некоторую часть поля тяготения внешнего тела.

Выполнив замену переменных с учетом (1) дифференциальные уравнения движения малого тела можно записать в следующем виде:

(2)

где

с – постоянная интеграла площадей,

h – постоянная интеграла энергий.

В работе [2] выполнена классификация типов движения:

1. Прямолинейное движение α = 0, H = 0, c = 0;

2. Параболический тип движения α > 0, H = 0;

3. Эллиптический тип движения α > 0, H < 0;

4. Гиперболический тип движения α > 0, H > 0;

5. Круговой тип движения α > 0, H < 0, e = 0;

где е – эксцентриситет орбиты пассивно гравитирующего тела.

Рассматриваем эллиптический тип движенияс привлечением эллиптических функции Якоби.

В случае эллиптического типа движения имеем α > 0, H < 0, поэтому дифференциальное уравнение (2) имеет вид:

(3)

. (4)

По теореме Декарта подкоренной полином G₄(w) = α – Hw² + 2w³ – w⁴ имеет три положительных корня α1, α2 α3 и один отрицательный. Полином положителен в двух интервалах: А. и В. .

Интегрирование дифференциальных уравнений (3) и (4) было выполнено в статье [3]. Пользуясь этой методикой полярные координаты малого тела.

Интервал А ()

(5)

(6)

(7)

Все коэффициенты (5)–(7) определены в виде формул от корней полинома G₄(w) = α – Hw² + 2w³ – w⁴ и для краткости не будем их приводить.

Интервал В ().

Полярный угол и полярный радиус записаны точно такими же формулами, как и на интервале А, лишь с той разницей, что коэффиценты определены другими выражениями от корней полинома G₄(w) = α – Hw² + 2w³ – w⁴.

Из выражений (5–7) видно, что полярный радиус не содержит вековых членов, а полярный угол пропорционален времени. Но прямоугольные координаты

,

вековых членов не имеют, следовательно результаты приемлемы на достаточно большом промежутке времени сопоставимы с соответствующими интервалами А и В.

Найденные решения можно использовать в качестве промежуточной орбиты.