Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными, что объясняется как теоретической значимостью результатов, так и их приложениями в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в математической биологии и других областях.

В настоящее время теория уравнений смешанного типа развивается быстрыми темпами. Успехи современного естествознания требуют дальнейшего развития теории дифференциальных уравнений в частных производных, что приводит к необходимости исследования локальных и нелокальных краевых задач, в том числе задач со смещением для уравнений смешанного и смешанно – составного типов.

Цель исследования: доказать существование и единственность решения задачи типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного гиперболо – параболического типа.

Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

(1)

где , в конечной области D, ограниченной отрезками CD, OD, DC прямых и характеристиками уравнения (1) при .

Пусть , , – единичный интервал прямой .

Под регулярным решением уравнения (1) будем понимать функцию из класса , удовлетворяющую уравнению (1) в и такую, что на концах интервала J может обращаться в бесконечность порядка , где .

Задача. Найти регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

(2)

(3)

(4)

где ; – точка пересечения характеристики, выходящей из точки , с характеристикой AO; – оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля, определяемый по формуле [10]

где , – гамма-функция.

Задача (1) – (4) относится к классу краевых задач со смещением [7], исследованием которых занимались многие авторы [1-9] для уравнений смешанного типа. Интерес к таким задачам обусловлен тем, что они существенно обобщают задачу Трикоми, содержат широкий класс корректных самосопряженных задач и имеют многомерные аналоги.

Пусть , . Тогда решение задачи Коши в области D– представимо в виде [7]

. (5)

Удовлетворив

,

где , ,

условию (4), получим основное функциональное соотношение между и , принесенное из гиперболической части D– на J

,

где , или, что тоже самое,

. (6)

Для нахождения функционального соотношения между и , принесенного из D+ на J рассмотрим задачу: Найти регулярное решение уравнения (1) при , удовлетворяющее условиям (2)-(3), .

Известно [9], что решение этой задачи существует, единственно и дается формулой

,

где – функция Грина;

. (8)

Отсюда второе функциональное соотношение между и , принесенное из D+ на J имеет вид

или

, (9)

где

,

.

Знак означает, что в сумме отсутствует слагаемое, соответствующее значению n=0.

Подставляя из (6) в (9), получим уравнение относительно

,

где

.

Отсюда, применив формулу обращения интегрального уравнения Абеля, после ряда преобразований получим

, (10)

где , – известные функции.

Уравнение (10) является интегральным уравнением Вольтера второго рода со слабой особенностью в ядре, которое однозначно и, безусловно, разрешимо в требуемом классе функций.

По найденному из (6) можно определить и решение задачи (1)-(4) в области D– по формуле (5), а в области D+ по формуле (7).