На начальном этапе проектирования целого ряда многофазных электромеханических систем (ЭМС) переменного тока (таких, как частотно-регулируемые электроприводы переменного тока, многофазные магнитогидродинамические системы, предназначенные для одновременного нагрева и перемешивания электромагнитным способом металлических расплавов или каких-либо других токопроводящих веществ и т.д.) перед разработчиком в качестве одного из первоочередных встает вопрос о расчете величины напряжения во входной цепи многофазного преобразователя частоты со звеном постоянного тока, являющегося, как правило, одним из основных элементов данных ЭМС и построенного на базе автономного инвертора напряжения.

Несмотря на то, что решение вопроса о методике расчета величины этого напряжения представляется вполне очевидным, некоторое время назад в ходе обсуждения общей методики проектирования многофазных ЭМС переменного тока вокруг названного вопроса возникла дискуссия.

В связи с этим авторы данной работы сочли необходимым изложить ниже самым подробным образом ход своих рассуждений по рассматриваемому вопросу (даже рискуя местами повторить общеизвестные истины и привести излишне подробные математические выкладки).

Подойдем к рассмотрению затронутой темы последовательно. Начнем с того, как определяется действующее значение переменного напряжения, имеющего синусоидальную форму. Общеизвестно (см., например, [1]), что действующее значение U_д переменного напряжения u любой формы вычисляется в соответствии со следующей формулой (в случае постоянного напряжения действующее значение этого напряжения равно его величине):

              (1)

где (в случае переменного напряжения, имеющего синусоидальную форму)

   (2)

U_m, ω ,φ  - соответственно амплитуда, угловая частота и начальная фаза переменного (синусоидального) напряжения u;

                                                     (3)

T- период; t - время.

В дальнейшем (чтобы максимально упростить изложение вопроса) будем рассматривать случай, когда φ = 0.

На основании (2) определим для этого случая величину u²:

           (4)

Поскольку  (где в рассматриваемом случае ), то выражение (4) преобразуется к виду

                (5)

Теперь определим значение интеграла  с учетом (5):

                         (6)

После подстановки (6) в (1) получаем:

    (7)

Очевидно, что равенство (7) справедливо и при φ ≠ 0

На следующем этапе определим действующее значение периодического несинусоидального напряжения, выражение для которого можно представить в виде следующего гармонического ряда (т.е. ряда Фурье):

,   (8)

где ω определяется по формуле (3);
c - номер (порядок) гармоники напряжения u;U_m(c) ,φ (c) - соответственно амплитуда и фаза c-ой гармоники напряжения u.

Из выражения (1) следует, что квадрат действующего значения такого напряжения может быть определен по следующей формуле:

                      (9)

где U_д- действующее значение напряжения u;U_д(c) - действующее значение c-ой гармоники напряжения u;

                      (10)

С учетом (9) и (10) выражение для величины U_д принимает вид

       (11)

Для проверки справедливости выражения (11) рассмотрим случай, когда u = u(t) представляет собой меандр (рис. 1), т.е. когда

 (12)

где E=const при t=var.

Подставив (12) в (1), получаем следующее:

     (13)

С другой стороны, функция (12) может быть представлена в виде гармонического ряда (8), в котором c=2k-1 (где k=1,2,3,... ) и

                                (14)

После подстановки (14) в (11) получаем:

     (15)

 

Рис. 1. Форма напряжения u(t)

Известно (см., например, [4]), что сумма сходящегося ряда  равна следующему:

                             (16)

После подстановки (16) в (15) окончательно получаем:

              (17)

Выражения (17) и (13) адекватны. Отсюда можно сделать вывод о том, что выражение (11) справедливо.

После того, как на соответствующем этапе проектирования соответствующей электромеханической системы (например, инверторного электропривода переменного тока - как синхронного, так и асинхронного) было определено действующее значение выходного фазного напряжения преобразователя частоты (оно же - фазное напряжение статора электродвигателя, в случае проектирования электропривода), можем перейти к определению величины напряжения на входе автономного инвертора напряжения (АИН), входящего в состав преобразователя частоты со звеном постоянного тока и являющегося одним из основных элементов системы привода.

Известно (см., например, [2, 3, 5]), что фазное напряжение i-ой фазы m_s-фазного АИН (где ) связано с величиной U_u входного напряжения АИН следующим образом:

,  (18)

где u_i - фазное напряжение i-ой фазы АИН; f_i - коммутационная функция i-ой фазы АИН (иначе говоря, - коммутационная функция i-ой точки подключения нагрузки к АИН).

Напряжение u_i может быть представлено в виде гармонического ряда, аналогичного ряду (8):

, (19)

где  ω₀- угловая частота основной гармоники выходного (фазного) напряжения АИН; U _ф.т. (с)  - амплитуда с-ой гармоники напряжения u_i, φ₀ - фаза (иначе говоря, - начальная фаза) c-ой гармоники напряжения u_i.

Коммутационная функция f_i также может быть представлена в виде соответствующего ряда Фурье:

,  (20)

где F_т(c) - амплитуда c-ой гармоники коммутационной функции fi.

При этом величины U _ф.т. (c) и F_т (с) связаны между собой следующим образом:

.  (21)

С учетом этих обозначений действующее значение выходного (фазного) напряжения АИН на основании (10) и (11) может быть выражено следующим образом:

, (22)

где F_д- «действующее» (если использовать терминологию, аналогичную той, что применяется для фазного напряжения) значение коммутационной функции f_i;

. (23)

Из (22) следует, что действующее значение выходного (фазного) напряжения АИН и величина напряжения на входе (т.е. во входной цепи) АИН связаны следующим соотношением:

.  (24)

Одним из наиболее широко распространенных и наиболее просто реализуемых алгоритмов управления вентильными элементами АИН является так называемое 180-градусное управление. При алгоритме управления ключами АИН каждая фазная обмотка статора электродвигателя первую половину периода выходного напряжения инвертора подключена к положительному «полюсу» звена постоянного тока, расположенного на входе АИН, а вторую половину названного периода она подключена к отрицательному «полюсу» этого звена. При этом f_i описывается выражением, аналогичным выражению (12),

                                (25)

а график функции f_i=f_i(t) имеет вид меандра, аналогичного тому, что показан на рис 1 (см. рис. 2), а F_д =1. Следовательно, при 180-градусном управлении вентилями АИН имеет место соотношение:

. (26)

Рис. 2. График коммутационной функции при 180-градусном управлении вентильными элементами АИН

Отсюда, в частности следует, что если U _ф.д = 220 В, то при 180-градусном управлении вентильными элементами АИН U_u = 440 В.

Таким образом, в ходе выполнения данной работы была получена формула (24), описывающая соотношение между действующим значением выходного (фазного) напряжения АИН и напряжением на входе этого инвертора. Эта формула, в частности, может быть использована для определения напряжения, которое должно быть обеспечено во входной цепи АИН, при любом алгоритме управления вентильными элементами инвертора.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. - М.: Высшая школа, 1967. - 776 с.
2. Бражников А.В. Многофазный инверторный электропривод с различным исполнением ротора асинхронного двигателя // Диссертация канд. техн. наук, защищена 26.06.1985 г., № ГР 01830052658. - Красноярск, 1985. - 210 с.
3. Бражников А.В. и др. Модель обобщенного электромеханического преобразователя энергии // Сборник научных трудов Всероссийской научной конференции «Молодежь и наука - третье тысячелетие». - Красноярск: Издательство КРО НС «Интеграция», 2007. - С. 405-414.
4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1984. - 832 с.
5. Кочетков В.П., Бражников А.В., Дубровский И.Л. Теория электропривода. - Красноярск: Издательство КрПИ, 1991. - 140 с.