Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,969

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИЕМОВ НАХОЖДЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ОРИЕНТИРОВОЧНОЙ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

Романова Т.Е. 1 Романов П.Ю. 1
1 ФГБОУ ВО «Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова»
В статье предпринята попытка реализовать теорию поэтапного формирования умственных действий в процессе обучения школьников решению задач с параметрами. На основе разработанной авторами системы задач предлагается методика построения ориентировочной основы решения параметрических задач. Предлагаемая последовательность задач, составленная с учетом сформулированных авторами требований, способствует активному участию школьников в построении ориентировочной основы решения задач данного типа. Разнообразные задачи позволяют корректировать и совершенствовать ориентировочную основу в зависимости от сложности квадратных уравнений с параметрами и уравнений, к ним сводимым. При этом создаваемые учащимися приемы поиска контрольных значений параметров, включенные в ориентировочную основу действий, позволяют избежать громоздких математических вычислений, формируя исследовательские умения школьников и подготавливая их к осуществлению исследовательской деятельности.
задачи с параметрами
ориентировочная основа деятельности
контрольные значения параметра
1. Романов П.Ю. Технология воспитания педагога-исследователя в системе непрерывного образования // Научные труды МПГУ. Серия: Естественные науки. – 2001. – С. 290–294.
2. Романов П.Ю., Романова Т.Е. Решение задач с параметрами // Математика. Первое сентября. – 2001. – № 12. – С. 13–15.
3. Романов П.Ю., Романова Т.Е. Роль графической интерпретации результатов решения задач с параметрами в организации исследовательской деятельности учащихся // Современные проблемы обучения математике в школе / ред. Е.И. Жилина. – Магнитогорск, 2000. – С. 84–90.
4. Романов П.Ю., Романова Т.Е. Системный подход в обучении учащихся написанию уравнения касательной к графику функции // Систематизация и обобщения при обучении школьников математике / под ред. Е.И. Жилиной. – Магнитогорск, 1998. – С. 36–41.
5. Романова Т.Е. Исследование систем линейных уравнений с двумя неизвестными и параметром // Педагогические аспекты математического образования / под ред. П.Ю. Романова. – Магнитогорск, 2011. – С. 112–117.
6. Романова Т.Е. Решение уравнений и неравенств первой степени. Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля: учебное пособие. – Магнитогорск, 2004. – 63 с.

Задачи с параметрами уверенно вошли в материалы государственной итоговой аттестации и единого государственного экзамена по математике. Их решение вызывает немалые трудности у учащихся, которые могут быть объяснены отсутствием в ныне действующих учебниках четких методических указаний по решению задач данного класса.

Психологов всегда интересовал процесс усвоения знаний и умений учащимися. Как правильно организовать работу по усвоению знаний и умений учащимися? Ответить на этот вопрос позволила теория поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина.

Классно-урочная форма обучения, на наш взгляд, позволяет организовывать следующие этапы данной теории: ориентировка школьников в материале и способах работы с ним; осуществление пошагового контроля за усвоением каждого действия каждым школьником в ходе решения задачи; переход от пошагового контроля школьников к их самоконтролю [4].

Приведем примеры разработанных нами систем заданий по теме «Квадратные уравнения с параметрами» [2]. При их составлении мы руководствовались тем, что:

– число задач, входящих в систему, должно быть достаточным для организации каждого из этапов теории;

– сложность задач в системе должна нарастать постепенно;

– последовательность задач должна способствовать активному участию школьников в моделировании ориентировочной основы формируемого действия.

Изучение данной темы необходимо начать с рассмотрения неполных квадратных уравнений с параметрами.

Задание 1. При всех значениях параметра а решить уравнения:

1) ax2 = 0;

2) (a – 2)(x – 1)2 = 0;

3) Romanova01.wmf

4) Romanova02.wmf

Далее переходим к решению приведенных квадратных уравнений, числовое значение дискриминанта которых представляет собой квадрат целого числа.

Задание 2. При всех значениях параметра а решить уравнение

x2 + 5ax = 14a2.

x2 + 5ax – 14a2 = 0; D = 25a2 + 56a2 = 81a2;

Romanova03.wmf Romanova04.wmf

Ответ: при всех действительных значениях параметра а уравнение имеет корни x = –7a и x = 2a.

Задание 3. При всех значениях параметра а решить уравнения:

1) x2 = –6ax – 8a2;

2) x2 – 18a2 = 3ax;

3) x2 + 8ax + 7a2 = 0;

4) x2 – 15a2 = 2ax.

Следующим этапом решения квадратных уравнений с параметром является решение уравнений, дискриминант которых есть полный квадрат некоторого двучлена.

Задание 4. При всех значениях параметра а решить уравнение

x2 + (4 – 2a)x = 8a.

x2 + (4 – 2a)x – 8a = 0;

x2 + 2(2 – a)x – 8a = 0;

Romanova05.wmf

Romanova06.wmf Romanova07.wmf

Ответ: при всех действительных значениях параметра а уравнение имеет корни x = 2a и x = –4.

Решение вышепредставленных уравнений позволяет составить ориентировочную основу действий (ООД) для решения квадратных уравнений с параметрами данного типа.

ООД решения квадратных уравнений с параметрами

• Привести уравнение к стандартному виду.

• Найти дискриминант квадратного уравнения.

• Найти контрольное значение параметра, исследуя дискриминант.

• Найти корни уравнения при контрольном значении параметра.

• Найти корни уравнения при остальных значениях параметра.

• Заполнить развертку по параметру и записать ответ.

Развертка по параметру позволяет систематизировать, обобщить и интерпретировать полученные результаты [3]. Далее учащиеся должны познакомиться с новым для них приемом решения квадратных уравнений – понижения степени. Овладевая им, учащиеся начинают понимать, что при определенных значениях параметра, квадратное уравнение приобретает статус линейного, решение которых учащимся известно [5, 6].

Задание 5. При всех значениях параметра а решить уравнение

(2a – 3)x2 + a + 1 = (3a – 2)x.

Для решения данного уравнения воспользуемся приемом понижения степени. Приравняем к нулю коэффициент при x2 и найдем значение параметра а, при котором квадратное уравнение превращается в линейное:

2a – 3 = 0; a = 1,5.

При a = 1,5 исходное уравнение принимает вид

–(3•1,5 – 2)x + 1,5 + 1 = 0,

откуда x = 1.

Найдем корни уравнения

(2a – 3)x2 – (3a – 2)x + a + 1 = 0

для всех a - 0:

D = (3a – 2)2 – 4(2a – 3)(a + 1);

D = a2 – 8a + 16; D = (a – 4)2;

Romanova08.wmf

Анализируя значения дискриминанта, получаем контрольное значение параметра a = 4. Для a = 4 исходное уравнение имеет корень четной кратности x = 1.

Если a ≠ 1,5 и a≠ 4, то

Romanova09.wmf

Ответ: a = 1,5; a = 4: x = 1;

a ≠ 1,5 a ≠ 4: x = 1, Romanova10.wmf

Если при решении задания 5 дискриминант представлял собой полный квадрат двучлена, то уравнение задания 6 не обладает данным преимуществом. Поэтому при его решении необходимо провести полное исследование дискриминанта (квадратного трехчлена).

Задание 6. При всех значениях параметра а решить уравнение

(a – 2)x2 – 2ax = 3 – 2a.

Преобразуем уравнение к стандартному виду

(a – 2)x2 – 2ax + 2a – 3 = 0

и применим к нему прием понижения степени.

Если a – 2 = 0, то a = 2, и уравнение принимает вид –4x + 1 = 0, откуда x = 0,25.

Если a ≠ 2, то

Romanova11.wmf

Исследуем дискриминант:

1. Если

Romanova12.wmf

то уравнение имеет два корня. Получили два новых контрольных значения параметра а: и

Если a = 1, то уравнение принимает вид

x2 + 2x + 1 = 0,

откуда x = –1.

Если a = 6, то уравнение принимает вид

4x2 – 12x + 5 = 0,

откуда x = 1,5.

Если 1 < a < 6, то

Romanova13.wmf

2. Если

(a – 1)(a – 6) > 0,

то уравнение не имеет корней.

Ответы: a = 1: x = –1; a = 2: x = 0,25;

a = 6: x = 1,5;

1 < a < 2 и 2 < a < 6:

Romanova14.wmf

a < 1 и a > 6: решений нет.

Овладение новым приемом решения квадратных уравнений ставит вопрос о корректировке ООД решения квадратных уравнений с параметрами.

ООД решения квадратных уравнений с параметрами

• Привести уравнение к стандартному виду.

• Найти контрольные значения параметра, используя прием понижения степени уравнения.

• Найти корни уравнения при этом значении параметра.

• Найти дискриминант квадратного уравнения.

• Найти контрольное значение параметра, исследуя дискриминант.

• Найти корни уравнения при новых контрольных значениях параметра.

• Найти корни уравнения при остальных значениях параметра.

• Заполнить развертку по параметру и записать ответ.

Усвоить ориентировочную основу решения полных квадратных уравнений с параметрами можно при помощи уравнений задания 7.

Задание 7. При всех значениях параметра а решить уравнения:

1) ax2 + (a + 1)x + 1 = 0;

2) (a – 1)x2 + 1 = 2x + a;

3) (b – 2)x2 + 3b +2 = 4bx;

4) ax2 = (a + 1)x + 1 + 2a.

Далее переходим к рассмотрению дробно-рациональных уравнений с параметрами, решение которых сводится к решению квадратных уравнений. При решении уравнений данного вида необходимо с самого начала указывать значения параметра и переменной, при которых уравнение имеет смысл. Знание области допустимых значений переменной и параметра позволяет в дальнейшем исследовать корни уравнения.

Изучение дробно-рациональных уравнений начинаем с уравнений, числитель которых представляет собой квадратный трехчлен в самом «хорошем случае» – его дискриминант является полным квадратом.

Задание 8. При всех значениях параметра а решить уравнение

Romanova15.wmf

Укажем область допустимых значений переменной х: x ≠ –1.

Преобразуем уравнение к стандартному виду

x2 – 6ax + 5a2 – 4a – 1 = 0

и найдем его корни:

Romanova16.wmf

Romanova17.wmf

Найденные корни должны быть отличны от нуля, то есть 5a + 1 ≠–1 или a – 1 ≠ –1. Откуда a ≠ –0,4, a ≠ 0.

Найденные значения параметра а представляют собой его контрольные значения. При них исходное уравнение имеет один корень x = 1 или x = –1,4.

Ответ:

a ≠ –0,4: x = –1,4;

a ≠ 0: x = 1;

a ≠ –0,4, a ≠ 0: x = 5a + 1; x = a – 1.

Задание 9. При всех значениях параметра а решить уравнение

Romanova18.wmf

Решение данного уравнения требует ограничений на параметр: a ≠ 0. При этом условии исходное уравнение равносильно уравнению

x2 – (2a – 3)x – 6a = 0.

Решая его, находим, что x = 3 или x = –2a. Записываем ответ.

Ответ:

a = 0: решений нет;

a ≠ 0: x = 3; x = –2a.

Далее знакомим учащихся с решением дробно-рациональных уравнений, решение которых сводится к квадратному уравнению с дискриминантом, не являющимся полным квадратом. Учащиеся понимают, что в этом случае корень из дискриминанта не извлекается, и они сталкиваются с необходимостью решать иррациональные уравнения, что довольно трудоемко, особенно для детей, которые по возрастным показателям еще не владеют техникой их решения. В этом случае на помощь может прийти прием, ведущий к цели более коротким и технически простым путем.

Задание 10. При всех значениях параметра а решить уравнение

Romanova19.wmf

Запишем ограничения на значения переменной x: x ≠ ±5. После необходимых преобразований, перейдем к системе, равносильной исходному уравнению:

Romanova20.wmf

Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части уравнения, равен

D = 36 + 12a + a2 – 4(5a + 14) = a2 – 8a – 20.

Так что для того, чтобы уравнение имело корни, необходимо, чтобы a2 – 8a – 20 ≠ 0. Последнее неравенство выполняется для a ≠ –2 или a ≠ 10.

При остальных значениях параметра а квадратное уравнение решений не имеет и, тем более, не имеет решений исходное уравнение.

Итак, при a ≠ –2 или a ≠ 10 квадратное уравнение имеет два корня

Romanova21.wmf

Исключим посторонние корни. Для этого найдем значения параметра а, при которых х будет равняться 5 или –5:

Romanova22.wmf

Выполнение данных условий требует решения четырех иррациональных уравнений.

Выйти из затруднительного положения позволяет следующее рассуждение: каждое значение параметра задает свое, соответствующее только этому значению параметру, уравнение. Естественно, что каждое уравнение, в свою очередь, предполагает свой «набор» корней. Значит, справедливо и обратное: определенному значению переменной х соответствует «свое» значение параметра а.

Поэтому вычислим значения квадратного трехчлена в «запрещенных» точках:

Romanova23.wmf

Тогда

Romanova24.wmf

Итак, если a = –6,9, то

Romanova25.wmf

Но x = 5 не является корнем, следовательно, остается корень x = –4,1.

Для завершения решения, найдем корни уравнения в контрольных точках a = –2 и a = 10: если a = –2, то x = –2; если a = 10, то x = –8.

Ответ:

a = –6,9: x = –4,1;

a = –2: x = –2;

a = 10: x = –8;

–2 < a < 10: решений нет;

a < –6,9; –6,9 < a < –2; a > 10:

Romanova26.wmf

В свете рассмотренных дробно-рациональных уравнений с параметрами внесем дополнения в ориентировочную основу решения уравнений, сводимых к квадратным.

ООД решения дробно-рациональных уравнений с параметрами

• Найти области допустимых значений переменной и параметра.

• Привести уравнение к стандартному виду.

• Найти контрольное значение параметра, используя прием понижения степени уравнения.

• Найти корни уравнения при этом значении параметра.

• Найти дискриминант квадратного уравнения.

• Найти контрольные значения параметра, исследуя дискриминант.

• Найти корни уравнения при новых контрольных значениях параметра.

• Найти контрольные значения параметра по области допустимых значений переменной, используя прием подстановки «запрещенных» значений переменной в формулу корней квадратного уравнения.

• Найти корни уравнения при остальных значениях параметра.

• Заполнить развертку по параметру и записать ответ.

Составленная ориентировочная основа решения квадратных уравнений и уравнений, к ним сводимых, позволяет выделить приемы нахождения контрольных значений параметра, от знания которых зависит решение уравнения:

1. Нахождение области допустимых значений параметра.

2. Использование приема понижения степени уравнения.

3. Исследование дискриминанта.

4. Исключение посторонних корней уравнения по области допустимых значений переменной (прием подстановки «запрещенных» значений переменной в формулу корней квадратного уравнения).

Рассмотрим решение дробно-рационального уравнения с параметром, сводимого к квадратному, которое сочетает в себе использование всех выделенных приемов нахождения контрольных значений параметра.

Задание 11. При всех значениях параметра а решить уравнение

Romanova27.wmf

Областью допустимых значений переменной являются все x ≠ 2, параметра – все a ≠ –1.

При a = –1 уравнение не имеет смысла, а значит, не имеет решений.

Преобразуем уравнение к виду

x2 + 2ax + 4 – 3a = 0

и найдем его корни, отличные от 2. Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части уравнения, равен

Romanova28.wmf Romanova29.wmf

Естественно, для того чтобы уравнение имело решения, дискриминант должен быть неотрицательным:

a2 + 3a – 4 ≥ 0,

откуда Romanova30.wmf

Получили новые контрольные значения параметра а: a = –4 и a = 1.

Если a = –4, то x = 4. Если a = 1, то x = –1.

Составим уравнение, позволяющее найти те значения параметра а, при которых переменная х принимает значение 2:

Romanova31.wmf

Видим, что для нахождения контрольных значений параметра а, при которых корни уравнения принимают статус «запрещенных», необходимо решить два иррациональных уравнения. Чтобы избежать этого, воспользуемся рассмотренным выше приемом и найдем новые контрольные значения параметра а, подставив в уравнение

x2 + 2ax + 4 – 3a = 0,

«запрещенные» значения переменной x:

22 + 2a•2 + 4 – 3a = 0,

откуда a = –8. Систематизируем полученные решения и запишем ответ.

Ответ:

a = –8: x = 14;

a = –4: x = 4;

a = 1: x = –1;

–4 < a < 1, a ≠ –1: решений нет;

a ≠ –8, –4 < a, a > 1: Romanova32.wmf

Предлагаемая методика построения ООД позволяет обучить школьников решению целого класса задач с параметрами, а совместное выделение приема нахождения контрольных значений готовит учащихся к осуществлению исследовательской деятельности, освоению профессионально значимых умений [1].


Библиографическая ссылка

Романова Т.Е., Романов П.Ю. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИЕМОВ НАХОЖДЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ОРИЕНТИРОВОЧНОЙ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ // Современные наукоемкие технологии. – 2016. – № 12-1. – С. 186-191;
URL: http://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=36499 (дата обращения: 21.05.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252