Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,916

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Кумыкова С.К. 1 Езаова А.Г. 1 Бабаева К.М. 1
1 Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова
Настоящая статья посвящена исследованию вопроса однозначной разрешимости краевой задачи с операторами дробного интегро-дифференцирования в краевом условии для вырождающегося гиперболического уравнения. Сформулирована корректная краевая задача со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения. Осуществлена редукция вопроса существования решения задачи к разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода, со слабой особенностью в ядре. Определены промежутки изменения порядков операторов дробного интегро-дифференцирования в краевом условии, при которых решение задачи существует и единственно. Также найдены промежутки изменения порядков операторов дробного интегро-дифференцирования, при которых поставленная краевая задача имеет бесчисленное множество решений. В этом случае вопрос разрешимости задачи эквивалентно редуцирован к вопросу разрешимости интегро-дифференциального уравнения n-го порядка. Также в данной работе установлен эффект влияния коэффициента при младшей производной в уравнении на однозначную или неоднозначную разрешимость поставленной краевой задачи со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения.
краевая задача
уравнение Вольтерра
оператор дробного интегрирования
оператор дробного дифференцирования
вырождающееся гиперболическое уравнение
1.Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 448с.
2.Водахова В.А., Шамеева К.А. Задачи со смещением для системы уравнений первого порядка Лыкова// Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. – 2013. – №2(52). – С.3–7.
3.Кумыкова С.К. Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями на характеристиках для уравнения смешанного типа// Дифференциальные уравнения. – 1974. – Т.10. №1. – С.78–88.
4. Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области// Дифференциальные уравнения. – 1978. – Т.14. №1. – С.50–65.
5.Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. – М.: Наука, 2006. – 287с.
6.Оразов И. Об одной краевой задаче со смещением для обобщенного уравнения Трикоми// Дифференциальные уравнения. – 1981. – Т.17. №2. – С.5–17.
7.Репин О.А., Кумыкова С.К. Озадаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения// Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки» . – 2013. – №1(30). – С.150–158.
8.Репин О.А., Кумыкова С.К. Озадаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения// Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. – 2012. – №9(100). – С.52–60.
9.Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск, 1987. – 688с.
10.Шогенов В.Х., Кумыкова С.К., Шхануков М.Х. Обобщенное уравнение переноса и дробные производные// Доклады национальной академии наук Украины. – 1997. – №12. – С.47–54.

Теория краевых задач для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений, в силу теоретической и прикладной важности, является одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными и привлекает к себе внимание многих исследователей, интересующихся как самой теорией, так и ее приложениями. Локальные и нелокальные задачи для таких уравнений встречаются в теории распространения электромагнитных полей, в теории тепло- и массообмена в средах, окруженных пористой средой, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в теории оболочек с кривизной переменного знака. Всвязи с изложенным возникает необходимость дальнейшего развития теории нелокальных задач для уравнений смешанного типа. Актуальность этих исследований можно также обосновать внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, получением новых результатов в теории дробного интегро-дифференцирования, а также их прикладным значением.

Для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений многими авторами [1–5, 7, 8, 10] исследовались задачи со смещением и задачи типа задачи Бицадзе – Самарского, когда на эллиптической части границы области задано локальное условие, а на характеристической части границы нелокальное условие, поточечно связывающее значения искомого решения или производной от него, вообще говоря, дробной определенного порядка, зависящего от порядка вырождения уравнения.

Цель исследования изучение влияния параметров уравнения и порядков операторов дробного интегро-дифференцирования в краевом условии на однозначную или неоднозначную разрешимость задачи.

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

kumykov01.wmf (1)

где m≥2, a≠0 – вещественная постоянная, в конечной области Ω, ограниченной характеристиками уравнения (1):

kumykov02.wmf

kumykov03.wmf

и отрезком kumykov04.wmf прямой y=0.

Задача. Найти регулярное в области Ω решение u(x, y) уравнения (1) из класса kumykov05.wmf удовлетворяющее краевым условиям

kumykov06.wmf kumykov07.wmf (2)

kumykov08.wmf

kumykov09.wmf (3)

где δ, μ – вещественные числа, A(x), B(x), C(x), kumykov10.wmf причем

A2(x)+B2(x)≠0;

θ0(x), θ1(x) – точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0)∈I cхарактеристиками AC, BC соответственно; kumykov11.wmf kumykov12.wmf – операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро-дифференцирования [9, 10].

Разрешимость задачи (2), (3) для обобщенного уравнения Трикоми

ymuxx – uyy=0; m=const>0

при любых δ, μ была исследована И.Оразовым [6].

При kumykov13.wmf решение задачи Коши u(x,0)=τ(x), uy(x,0)=ν(x) для уравнения (1) имеет вид [1]

kumykov14.wmf (4)

где Γ(z) – гамма функция Эйлера [9].

Пользуясь решением (4), вычислим

kumykov15.wmf

Последнее в терминах операторов дробного интегро-дифференцирования [17] примет вид

kumykov16.wmf

Аналогично получаем

kumykov17.wmf

В терминах операторов дробного интегро-дифференцирования последнее примет вид

kumykov18.wmf

Удовлетворим u[θ0(x)], u[θ1(x)] краевому условию (3). Врезультате преобразований получим

kumykov19.wmf (5)

где

kumykov20.wmf

Исследуем разрешимость задачи (1)–(3) для любых промежутков изменения параметров δ, μ.

Теорема 1. Пусть μ=1 – α; δ<1 – α – β; B(x)≠0,

kumykov21.wmf kumykov22.wmf

Тогда решение задачи (1)–(3) существует и единственно.

В самом деле, при δ<1 – β и выполнении условий теоремы уравнение (5) примет вид

kumykov23.wmf (6)

где kumykov24.wmf

kumykov25.wmf

Уравнение (6) есть интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно ν(x) со слабой особенностью в ядре, единственное решение которого в искомом классе функций может быть построено методом последовательных приближений.

Далее, регулярным решением уравнения (1) в области Ω назовем любую функцию u(x, y) из класса kumykov26.wmf, удовлетворяющую уравнению (1) в области Ω и такую, что функция uy(x, 0)=ν(x)=xδ+α+β–2ν1(x) в точке x=0 обращается в нуль порядка δ+α+β – 2, а ν1(x) – достаточное число раз дифференцируемая функция в некоторой окрестности (0,δ) точки x=0 и ν1(0)≠0.

Теорема 2. Пусть выполнены условия

μ=1 – α; (1 – β)+k<δ<(1 – β)+k+1, k=1, 2, 3,… .

τ(x)=xσ τ1(x),

где σ≥δ;

kumykov27.wmf

B(x)=x(1 –x)2–αB1(x),

где kumykov28.wmf

причем kumykov29.wmf kumykov30.wmf Тогда задача (1)–(3) имеет бесконечное множество линейно-независимых решений.

Доказательство. Покажем сначала, что утверждение имеет место при k=1. Вэтом случае уравнение (5) примет вид

kumykov31.wmf (7)

где

kumykov32.wmf kumykov33.wmf

Для доказательства неединственности решения задачи достаточно показать, что соответствующее (7) однородное уравнение

kumykov34.wmf (8)

имеет нетривиальное решение.

В самом деле, обозначим

kumykov35.wmf (9)

Тогда применяя формулу обращения интегрального уравнения Абеля, получим

kumykov36.wmf

Уравнение (8) примет вид

kumykov37.wmf. (10)

Полагая kumykov38.wmf, после преобразований получим интегральное уравнение

kumykov39.wmf (11)

где

kumykov40.wmf

kumykov41.wmf

Так как при k=1 по условию теоремы 2 – β<δ<3 – β, то (11) есть интегральное уравнение Вольтерра с непрерывным ядром kumykov42.wmf и непрерывной правой частью kumykov43.wmf

Уравнение (11) имеет на kumykov44.wmf единственное непрерывное решение

kumykov45.wmf

где R(x, t, δ) – резольвента ядра K1(x, t). Тем самым неединственность решения задачи при k=1 доказана. Докажем существование решения задачи.

С учетом (9) уравнение (7), принимая во внимание ранее проведенные вычисления, перепишем в виде

kumykov46.wmf (12)

где K1(x, t) и правая часть (12) достаточно гладкие функции.

Известно, что в классе непрерывных функций на kumykov47.wmf уравнение (12) имеет непрерывное решение

kumykov48.wmf

где f*(x)=f1(x)+f(x), а R1(x, t, δ) – резольвента ядра K1(x, ξ).

Допустим, что задача (1)–(3) имеет бесчисленное множество линейно-независимых регулярных решений при k=n – 1, и докажем, что это утверждение верно при i=n.

При k=n; (1 – β)+n<δ<(1 – β)+n+1 и уравнение (7) примет вид

kumykov49.wmf (13)

где

kumykov50.wmfkumykov51.wmf

Вводя обозначение kumykov52.wmf, а затем kumykov53.wmf, как и ранее при f(x)=0, получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода с непрерывным ядром и правой частью

kumykov54.wmf (14)

где

kumykov55.wmf

kumykov56.wmf

Отсюда следует, что уравнение (14) в классе функций kumykov57.wmf имеет непрерывное нетривиальное решение, которое задается формулой

kumykov58.wmf,

и решение задачи (1)–(3) неединственно.

В неоднородном случае получим уравнение

kumykov59.wmf

которое имеет непрерывное решение

kumykov60.wmf

где R*(x, t, δ) резольвента ядра Kn(x, t).

Итак, решение задачи (1)–(3) при выполнении условий теоремы2 существует, но оно неединственно.


Библиографическая ссылка

Кумыкова С.К., Езаова А.Г., Бабаева К.М. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ // Современные наукоемкие технологии. – 2016. – № 2-2. – С. 240-245;
URL: http://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=35609 (дата обращения: 07.08.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074