Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,969

АНАЛОГ ЗАДАЧИ БИЦАДЗЕ-САМАРСКОГО ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Абрегов М.Х. 1 Гучаева З.Х. 1
1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» Министерства образования и науки РФ
Исследован вопрос однозначной разрешимости аналога задачи Бицадзе-Самарского с дробной производной в краевом условии для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа. Путем редукции к уравнению Вольтера второго рода доказана однозначная и безусловная разрешимость задачи.
задача Бицадзе-Самарского
оператор дробного дифференцирования
оператор дробного интегрирования
задача Коши
уравнение Вольтерра
1. Абрегов М.Х. Некоторые задачи типа задачи Бицадзе-Самарского для одного уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения. – 1974. – Т. 10, № 1. – С. 3-6.
2. Елеев В.А., Кумыкова С.К. Внутреннекраевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. – 2010. – № 5. – С. 5-14.
3. Елеев В.А., Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для смешанного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Математическое моделирование и краевые задачи: труды Всероссийской научной конференции. – Самара, 2004. – С. 91-94.
4. Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения <> // Дифференциальные уравнения. – 1976. – т. 12, № 1. – С. 79-88.
5. Кумыкова С.К. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. – 1981. – т. 17, № 1. – С. 81-90.
6. Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Дифференциальные уравнения. – 1978. – т. 14, № 1. – С. 50-65.
7. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. – М., 2006. – 287с.
8. Репин О.А., Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Дифференциальные уравнения. – 2012. – т. 48, № 8. – С. 1140-1149.
9. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. – Ташкент: ФАН, 1974. – 155 с.
10. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными, что объясняется как теоретической значимостью результатов, так и их приложениями в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в математической биологии и других областях.

В настоящее время теория уравнений смешанного типа развивается быстрыми темпами. Успехи современного естествознания требуют дальнейшего развития теории дифференциальных уравнений в частных производных, что приводит к необходимости исследования локальных и нелокальных краевых задач, в том числе задач со смещением для уравнений смешанного и смешанно – составного типов.

Цель исследования: доказать существование и единственность решения задачи типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного гиперболо – параболического типа.

Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

abre1.wmf (1)

где abre2.wmf, в конечной области D, ограниченной отрезками CD, OD, DC прямых abre3.wmf и характеристиками abre4.wmf abre5.wmf уравнения (1) при abre6.wmf.

Пусть abre7.wmf, abre8.wmf, abre9.wmf – единичный интервал abre10.wmf прямой abre11.wmf.

Под регулярным решением уравнения (1) будем понимать функцию abre12.wmf из класса abre13.wmf, удовлетворяющую уравнению (1) в abre14.wmf и такую, что abre15.wmf на концах интервала J может обращаться в бесконечность порядка abre17.wmf, где abre18.wmf.

Задача. Найти регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

abre19.wmf (2)

abre20.wmf (3)

abre21.wmf (4)

где abre22.wmf abre23.wmf abre24.wmf; abre25.wmf – точка пересечения характеристики, выходящей из точки abre26.wmf, с характеристикой AO; abre27.wmf – оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля, определяемый по формуле [10]

abre28.wmf

где abre29.wmf, abre30.wmf – гамма-функция.

Задача (1) – (4) относится к классу краевых задач со смещением [7], исследованием которых занимались многие авторы [1-9] для уравнений смешанного типа. Интерес к таким задачам обусловлен тем, что они существенно обобщают задачу Трикоми, содержат широкий класс корректных самосопряженных задач и имеют многомерные аналоги.

Пусть abre31.wmf, abre32.wmf. Тогда решение задачи Коши в области D– представимо в виде [7]

abre33.wmf

abre34.wmf. (5)

Удовлетворив

abre35.wmf,

где abre36.wmf, abre37.wmf,

условию (4), получим основное функциональное соотношение между abre38.wmf и abre39.wmf, принесенное из гиперболической части D– на J

abre40.wmf,

где abre41.wmf, или, что тоже самое,

abre42.wmf. (6)

Для нахождения функционального соотношения между abre43.wmf и abre44.wmf, принесенного из D+ на J рассмотрим задачу: Найти регулярное решение уравнения (1) при abre45.wmf, удовлетворяющее условиям (2)-(3), abre46.wmf.

Известно [9], что решение этой задачи существует, единственно и дается формулой

abre47.wmf,

где abre48.wmf – функция Грина;

abre49.wmf

abre50.wmf. (8)

Отсюда второе функциональное соотношение между abre51.wmf и abre52.wmf, принесенное из D+ на J имеет вид

abre53.wmf

или

abre54.wmf, (9)

где

abre55.wmf,

abre56.wmf.

Знак abre57.wmf означает, что в сумме отсутствует слагаемое, соответствующее значению n=0.

Подставляя abre58.wmf из (6) в (9), получим уравнение относительно abre59.wmf

abre60.wmf,

где

abre61.wmf.

Отсюда, применив формулу обращения интегрального уравнения Абеля, после ряда преобразований получим

abre62.wmf, (10)

где abre63.wmf, abre64.wmf – известные функции.

Уравнение (10) является интегральным уравнением Вольтера второго рода со слабой особенностью в ядре, которое однозначно и, безусловно, разрешимо в требуемом классе функций.

По найденному abre65.wmf из (6) можно определить abre66.wmf и решение задачи (1)-(4) в области D– по формуле (5), а в области D+ по формуле (7).


Библиографическая ссылка

Абрегов М.Х., Гучаева З.Х. АНАЛОГ ЗАДАЧИ БИЦАДЗЕ-САМАРСКОГО ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 11. – С. 126-128;
URL: http://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=33535 (дата обращения: 24.07.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252