Фрактальная структура может быть определена как структура, обладающая на всех своих уровнях структурной иерархии свойством самоподобия, либо как структура, в которой расположение одинаковых элементов подчиняется определенной фрактальной закономерности [1, 2]. Гибридность фрактальных структур определяется наличием в них двух или более простых фракталов с разными генераторами. Гибридную фрактальную структуру, составленную из определенным образом упорядоченных в пространстве локальных фракталов, будем считать детерминистической гибридной фрактальной структурой. Формирование детерминистических гибридных фрактальных структур проводится путем вложения по определенному алгоритму простых фракталов с разными генераторами в пространственные ячейки структурированного пространства методами комбинаторного или итерационного модулярного дизайна [3-19].
Сформулируем общие принципы формирования детерминистических гибридных фрактальных структур в 1D пространстве [14, 15]:
1) принцип использования предварительно структурированного (интервального) пространства,
2) принцип отбора мономодулярных одногенераторных фрактальных структур с близкими локальными размерностями по критериям совместимости на границе и внутри пространственных интервалов,
3) принцип выбора гибридных фракталов с минимальными периодами идентичности и максимальной симметрией.
Введем следующее символьное обозначение для детерминистической гибридной фрактальной структуры в 1D пространстве:
MGF11 {(ai GenFi) (G10)i (CP)}[(G11), (a), (Dim)].
Здесь: MGF11 – наименование одномерной однопериодической мультифрактальной гибридной структуры, GenFi и (G10)i – генератор i-ого простого фрактала и его локальная симметрия, CP – код упаковки простых фракталов или последовательность их чередования, G11 – группа симметрии одномерной однопериодической гибридной структуры, Σai = a – количество пространственных ячеек, определяющих период идентичности структуры, Dim – фрактальная размерность.
Для 1D пространства структурированность достигается разбиением его на одинаковые интервалы [0, 1] – интервалы существования мономодулярной точечной фрактальной структуры [16-18]. Тогда будем учитывать, что каждая простая фрактальная структура формируется в результате бесконечной итерации генератора, заданного внутри этого интервала, инъективным способом и не выходит за его границы.
Гибридность фрактальных структур в 1D пространстве определяется наличием в них двух и более простых фракталов с разными генераторами, занимающими цепочку двух или более граничащих друг с другом интервалов. В качестве примера классических точечных фрактальных структур могут быть, в частности, итерационная последовательность точек ICр(1/2) (Dim ICр = 0,50, симметрия группы G10 = 1) и канторово множество точек CMр(1/3) (Dim CMр = 0,631, симметрия группы G10 =1). В качестве дополнения к ним может использоваться отрезок линии L, но при определении фрактальной размерности необходимо учитывать, что он не обладает фрактальными свойствами (Dim L = 1, симметрия группы G10 =1).
Перечислим формально возможные варианты гибридных фракталов из перечисленных выше структур с одним генератором в виде последовательности их чередования внутри периода идентичности a (количество заполненных интервалов 1D пространства):
ICр(1/2,+) – CMр(1/3) – ICр(1/2,-), a = 3,
ICр(1/2,+) – CMр(1/3) – L – CMр(1/3) ICр(1/2,-), a = 5,
ICр(1/2,+) – L – CMр(1/3) – L – ICр(1/2,-), a = 5,
В данном случае с помощью символов + и – учтена асимметрия фрактала ICр(1/2) 1D пространства относительно геометрического центра интервала его существования.
Соответствующие этим последовательностям одномерные гибридные мультифрактальные структуры следующие:
MGF11{(2GenICp*GenCMp) (1 *1) (ICр-CMр-ICр)}[(1),(3)],
MGF11{(2GenICp*2GenCMp*L) (1 *1 *1) (ICр-CMр-L-CMр-ICр)}[(1),(5)],
MGF11{(2GenICp*2L*GenCMp) (1 *1 *1) (ICр-L-CMр-L-ICр)}[(1),(5)].
Размерности гибридных фрактальных структур определяются через размерности генераторов простых мономодулярных фракталов следующим образом:
Dim(MGF11(2GenICp*GenCMp)) = [2Dim GenICp + Dim GenCMp]/3 = 0,543,
Dim(MGF11(2GenICp*2GenCMp*L)) = [2DimGenICp+2DimGenCMp+1]/5 = 0,652,
Dim(MGF11(2GenICp*2L*GenCMp)) = [2Dim GenICp + Dim GenCMp+2]/5 = 0,726.
Формально можно допустить возможность существования некоторых кентавроподобных гибридных структур MGKF11, включающих переходные структуры Tr(F1*F2) – интервалы квазинепрерывного перехода от одного простого фрактала F1 к другому F2. В частности, такой структурой для гибридов 1D пространства может быть переходная структура Tr(ICp*CMp). Тогда максимально симметричными кентавроподобными гибридными структурами с минимальными периодами идентичности будут следующие:
1) MGKF11{(2GenICp*2Tr(ICp*CMp)*GenCMp) (1 *1*1)
(ICр- Tr(ICp*CMp)-CMр- Tr(ICp*CMp)-ICр)}[(T2),(5)],
2) MGKF11{(2GenICp*2GenCMp*2Tr(ICp*CMp)*L) (1 *1 *1)
(ICр-Tr(ICp*CMp)-CMр-L-CMр-Tr(ICp*CMp)-ICр)}[(T2),(7)],
3) MGKF11{(3GenICp*2L*2Tr(ICp*CMp)*GenCMp) (1 *1 *1 *1)
(ICр-L-CMр- Tr(ICp*CMp)-ICр-Tr(ICp*CMp)-CMр-L-ICр)}[(T1),(9)].
Учитывая, что переходная точечная структура Tr(ICp*CMp) не обладает фрактальными свойствами и ее размерность равна 0, размерности трех представленных выше кентавроподобных фрактальных структур равны 0,326, 0,466 и 0,403, соответственно.
Можно также допустить для гибридов с полярным генератором GenICp существование переходной структуры вида Tr(ICp+*ICр+) или Tr(ICp-*ICр-) с размерностью 0, однако кентавроподобные структуры с ними уже не будут удовлетворять условию минимальности периода идентичности.
Отметим, что в данной работе проанализированы вероятные гибридные фрактальные структуры 1D пространства как возможные аппроксиманты 1D сечений поверхности композиционных покрытий (КП) и сайз-распределения наноразмерных объектов в направлении трибовоздействия. В соответствии с концепцией синергизма свойств фаз твердой и смазочной компонент КП [20-23] в процессе трибоконтакта с сопряженной поверхностью износ более пластичной смазочной компоненты существенно снижается за счет ее «вмазывания» в макродефекты и межкристаллитное пространство фаз твердой компоненты и «намазывания» на поверхности этих фаз по межфазным границам [23]. Комплексная синергическая модель, описывающая трибологические свойства поверхности однородных КП, основана на одновременном учете параметра наноструктурности kн и параметра kг,S, характеризующего квазифрактальный характер конфигурации межфазных границ [24]. Экспериментально установлено [23, 25-30], что для КП разного фазового состава сумма параметров (kн + α kг,S) может принимать существенно большие значения (от 0,03 до 0,08) и характеризует объемную долю наночастиц (или микрочастиц) фаз твердых компонент КП и контр-тела, которые могут находиться в зоне трибоконтакта. Сайз-распределения, полученные на основе анализа гибридных фрактальных структур, включающих локальную структуру F(ICp), уже для предфракталов 3-го поколения характеризуются интервалом значений (0,2…0,8)r0 нм (при размере структурного элемента r0 = 0,1 нм – размер атома – длина пространственного интервала 1 нм). Если сайз-распределения получены на основе анализа гибридных фракталов, включающих структуру F(CMp), то для предфракталов 3-го поколения имеем интервал значений (0,3…2,7)r0 нм (при r0 = 0,1 нм длина пространственного интервала 3 нм). Если структурные элементы предфрактала представляют собой нанообъекты с размером порядка 1 нм, то длина интервала также возрастает на порядок, а периоды идентичности гибридных предфракталов могут принимать значения от 30 до 270 нм.
Отметим, что все полученные гибридные фрактальные структуры MGF11, симметрия которых описывается линейными группами класса G11, могут быть прообразами новых гибридных структур. В частности, при использовании одной (τ2) или двух (τ2, τ3) трансляций соответствующих непрерывных групп Tt1,τ2 или Tt1,τ2,τ3 в ортогональных к t1 направлениях могут быть получены новые линейчатые или планарные фракталы вида MGF21 или MGF31. Симметрия образов структур этих фракталов в квазиодномерном пространстве будет описываться одной из 2D групп симметрии бордюров G21 (t:2.m, t:m) или 3D групп стержней G31 (t4/mm, t4/m). Обозначения всех 1D, 2D и 3D групп симметрии приведены в соответствии с обозначениями, принятыми в [31].
Таким образом, сформулированы общие принципы формирования, предложено символьное описание и получены формально возможные детерминистические гибридные фрактальные структуры в 1D пространстве.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ, соглашение № 14.U01.21.1078.
Библиографическая ссылка
Иванов В.В. ФОРМИРОВАНИЕ И СИМВОЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ ДЕТЕРМИНИСТИЧЕСКИХ ГИБРИДНЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ СТРУКТУР В 1D ПРОСТРАНСТВЕ // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 11. – С. 61-64;URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=33522 (дата обращения: 19.04.2024).