Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,909

МЕТОД ИСКУССТВЕННОГО БАЗИСА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Савченко Ю.М. 1 Кравченко И.Ю. 1 Цой А.Ю. 1 Агишева Д.К. 1
1 Волжский политехнический институт, филиал Волгоградского государственного технического университета
1. Математика в экономике. Математические методы и модели: учебник / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 544 с.: ил.
2. Математическая статистика: учебное пособие / Д.К. Агишева, С.А. Зотова, Т.А. Матвеева, В.Б. Светличная // Успехи современного естествознания. – 2010. – № 2. – С. 122-123.
3. Линейное программирование: учебное пособие / Д.К. Агишева, С.А. Зотова, Т.А. Матвеева, В.Б. Светличная // Успехи современного естествознания. – 2010, № 9. – С. 61-62.
4. Мягков М.М., Гафуров Т.Д., Агишева Д.К. Анализ использования ресурсов в оптимальном плане // Успехи современного естествознания. – 2012. – № 4 – С. 51-51.
5. Гусева Д.Р., Перова Т.Н., Платонова Е.А., Агишева Д.К. Графический анализ устойчивости // Успехи современного естествознания. – 2012. – № 4 – С. 46-47.

Метод искусственного базиса применяется к решению задач линейного программирования в общем случае, когда система ограничений не имеет предпочитаемого вида. Рассмотрим следующий пример.

Задача о диете. Симпатичная девушка узнала из дамского журнала, что для того чтобы волосы стали более шелковистыми, организм должен получать ежедневно не менее 40 г питательного вещества А, не менее 4 г питательного вещества Б и не менее 30 г питательного вещества В. Девушка знает, что в 1 кг яблок содержится 10 г вещества Б и 50 г вещества В, а в 100 г огурцов содержится 40 г вещества А и по 20 г веществ Б и В. Цена яблок – 60 руб. за 1 кг, цена огурцов – 50 руб. за 1 кг. Требуется помочь девушке составить рацион, помогающий увеличить шелковистость волос и при этом имеющий наименьшую стоимость.

Решение. Обозначим x1 и x2 массу приобретаемых девушкой яблок и огурцов, тогда общее количество получаемого в рационе питательного вещества А будет равно 40x2 (г), количество вещества Б в рационе составит 10x1 + 20x2 (г), а количество вещества В составит 50x1 + 20x2 (г). При этом общая стоимость приобретаемых продуктов составит 60x1 + 50x2 руб. Таким образом, получаем следующую задачу линейного программирования:

Eqn337.wmf

Eqn338.wmf

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Для превращения системы ограничений в систему уравнений необходимо ввести балансовые неизвестные x3, x4 и x5:

Eqn339.wmf

Eqn340.wmf

xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4, 5.

Вновь введённые переменные x3, x4 и x5 нельзя считать базисными, поскольку они соответствуют базисному решению с отрицательными компонентами.

Поэтому введём искусственные базисные неизвестные t1, t2, t3 (M >> 1) и рассмотрим задачу:

Eqn341.wmf

Eqn342.wmf

xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4, 5, t1 ≥ 0, t2 ≥ 0, t3 ≥ 0.

Далее процесс решения проведём в симплексной таблице.

cj

ci

БП

60

50

0

0

0

М

М

М

Z

Eqn343.wmf

x1

x2

x3

x4

x5

t1

t2

t3

b

М

t1

0

40

–1

0

0

1

0

0

40

1

М

t2

10

pic_82.wmf

0

–1

0

0

1

0

4

0,2

М

t3

50

20

0

0

–1

0

0

1

30

1,5

Δj ≤ 0

60М–60

80М–50

–М

–М

–М

0

0

0

74М

Критерий на минимум не выполнен

 

М

t1

–20

0

–1

2

0

1

 

0

32

–––

50

x2

pic_83.wmf

1

0

–1/20

0

0

 

0

1/5

2/5

М

t2

40

0

0

1

–1

0

 

1

26

13/20

Δj ≤ 0

20М–35

0

–М

3М–2,5

–М

0

 

0

58М + 10

Критерий на минимум не выполнен

 

cj

ci

БП

60

50

0

0

0

М

М

М

Z

Eqn343.wmf

x1

x2

x3

x4

x5

t1

t2

t3

b

М

t1

0

40

–1

0

0

1

 

0

40

–––

60

x1

1

2

0

–1/10

0

0

 

0

2/5

–––

М

t2

0

–80

0

pic_84.wmf

–1

0

 

1

10

2

Δj ≤ 0

0

70–40М

–М

5М–6

–М

0

 

0

50М + 24

Критерий на минимум не выполнен

 

cj

ci

БП

60

50

0

0

0

М

М

М

Z

Eqn343.wmf

x1

x2

x3

x4

x5

t1

t2

t3

b

М

t1

0

pic_85.wmf

–1

0

0

1

   

40

1

60

x1

1

2/5

0

0

–1/50

0

   

3/5

3/2

0

x4

0

–16

0

1

–1/5

0

   

2

–––

Δj ≤ 0

0

40М–26

–М

0

-6/5

0

   

40М + 36

Критерий на минимум не выполнен

 

cj

ci

БП

60

50

0

0

0

М

М

М

Z

Eqn343.wmf

x1

x2

x3

x4

x5

t1

t2

t3

b

50

x2

0

1

–1/40

0

0

     

1

 

60

x1

1

0

1/100

0

–1/50

     

1/5

 

0

x4

0

0

–2/5

1

–1/5

     

18

 

Δj ≤ 0

0

0

–13/20

0

–6/5

     

62

Критерий на минимум выполнен

В пятой симплексной таблице среди Δj нет ни одного положительного числа. Поэтому базисное решение x1 = 1/5 = 0,2, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 18, x5 = 0, t1 = 0, t2 = 0, t3 = 0 является оптимальным. Таким образом, оптимальный рацион состоит из 200 г яблок и 1 кг огурцов.


Библиографическая ссылка

Савченко Ю.М., Кравченко И.Ю., Цой А.Ю., Агишева Д.К. МЕТОД ИСКУССТВЕННОГО БАЗИСА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6. – С. 110-112;
URL: http://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=32014 (дата обращения: 28.01.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074