Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,909

Y-простые линейно упорядоченные модули

Ледяева А.С. 1 Мамаев И.И. 1
1 Ставропольский государственный аграрный университет
1. Мамаев И.И. Абсолютная выпуклость пересечения всех относительно выпуклых подгрупп упорядочиваемой группы // IX Всероссийский коллоквиум по общей алгебре: резюме докл. – Гомель, 1968. – 97 с.
2. Копытов В.М., Мамаев И.И. Абсолютная выпуклость некоторых подгрупп упорядочиваемой группы // Алгебра и логика. – Новосибирск, 1968. – Т. 7. – № 2. – С. 20–26.
3. Кокорин А.И. Линейно упорядоченные группы: монография / А.И. Кокорин, В.М. Копытов. – М.: Наука, 1972. – 199 с.
4. Хион Я.В. Архимедовы упорядоченные кольца // Успехи математических наук. – 1954. – 9. – С. 237–242.

Определение. Линейно упорядоченный правый унитарный модуль назовём Y-простым, если в нем нет нетривиальных выпуклых подмодулей.

Теорема 1. Линейно упорядоченный правый R-модуль М тогда и только тогда будет Y-простым, если для любой пары a, b строго положительных элементов модуля можно указать такой строго положительный элемент α ∈ R, что aα > b.

Этот результат позволяет установить следующая теорема.

Теорема 2. Если а – строго положительный элемент линейно упорядоченного правого R-модуля М, то множество К, состоящее из всех таких элементов Х, что при некотором строго положительном a ∈ R будет минимально-выпуклым подмодулем, содержащим а.

Действительно, пусть –aβ ≤ x ≤ aβ и –aγ ≤ x ≤ aγ при некоторых строго положительных β, γ ∈ R .

Следовательно, –a(β + γ) ≤ x – y ≤ a(β + γ), то есть x – y ∈ K. Предположим, что если δ – строго положительный элемент из R и –aβ ≤ x ≤ aβ, то –aβδ ≤ xδ ≤ aβδ, то есть xδ ∈ K (что и требовалось доказать).

Теорема 3. Если линейно упорядоченный правый R-модуль М является Y-простым, то для всякой пары строго положительных элементов α, β ∈ R существует строго положительный элемент γ ∈ R, такой что αγ > .

Доказательство основывается на следующем предположении: пусть α и β – строго положительные элементы из R. Если а – строго положительный элемент, причем a ∈ M, то аα и aβ ∈ M. В силу Y-простоты модуля для aα и aβ по теореме 1 найдется такое строго положительное γ ∈ R, что (aα)γ = a(αγ) > αβ. Следовательно, αγ > β, то есть элемент, о коором говорится в теореме существует.

Теорема 4. Линейно упорядоченное кольцо R не содержит выпуклых правых идеалов тогда и только тогда, если для всякой пары строго положительных элементов α, β ∈ R существует строго положительный элемент γ ∈ R такой, что αγ > β (1).

Действительно, пусть в кольце R выполнено условие (1). Рассмотрим это кольцо над самим собой как правый модуль. Как известно, в таком случае его подмодулями служат правые идеалы кольца [1]. На основании теоремы 1 этот модуль будет Y-простым, то есть по определению не содержит нетривиальных выпуклых подмодулей, а следовательно кольцо R не содержит выпуклых правых идеалов, отличных от 0 и R. Обратно, пусть кольцо не содержит нетривиальных выпуклых правых идеалов. Тогда рассматриваемый над самим собой как модуль он не содержит нетривиальных выпуклых подмодулей, то есть является модулем Y-простым, а по теореме 3 в кольце R выполняется условие (1).

Следствие. Y-простые линейно упорядоченные правые модули могут быть только над кольцами, лишенными нетривиальных выпуклых правых идеалов.

Необходимо отметить, что теоремы, аналогичные теоремам 3 и 4, имеют место и в том случае, если вместо правых Y-простых модулей и правых выпуклых идеалов кольца рассматриваются левые Y-простые модули и левые выпуклые идеалы кольца.

Теорема 5. Пусть М линейно упорядоченный правый унитарный Y-простой модуль над архимедовым кольцом R, R не аннулирует модуль. Тогда R Y-изоморфно подкольцу R поля действительных чисел D и M Y-изоморфен аддитивной группе действительных чисел рассматриваемой как модуль над R.

Доказательство. На основании теоремы Пикерта-Хиона кольцо R Y-изоморфно однозначно определенному подкольцу поля действительных чисел, взятому естественной упорядоченностью. Таким образом, можно считать, что R вложено в D [2; 3]. Покажем, что М не имеет собственных выпуклых подгрупп. Пусть С не нулевая подгруппа М. Возьмем 0 < c ∈ C и 0 < a ∈ M. По теореме 1 существует положительный элемент α ∈ R такой, что 0 < a ∈ cα, но т.к. R обладает 1 ≠ 0 и R ≤ D, то всякое натуральное число содержится в R, и, следовательно, существует такое натуральное n ∈ R, что α < n. Имеем 0 < α < cd < cn ∈ C. Таким образом, С = М, поэтому существует Y-изоморфизм группы (М, +) в группу (D, +). Следовательно, можно считать, что группа (М, +) является аддитивной подгруппой группы действительных чисел. Однако умножение элементов кольца операторов на элементы группы (М. +) может, вообще говоря, не совпадать с обычным умножением действительных чисел и, в отличие от последнего, мы будем обозначать его через a⋅α. Рассмотрим отображение a → a⋅α, (a ∈ M, α ∈ R) M в себя. Оно будет Y-изоморфизмом при строго положительном α. Следует отметить, что если идеал J кольца R аннулирует элементы модуля, то он является выпуклым. Поскольку в кольце операторов R нет нетривиальных выпуклых идеалов, а также ввиду того, что R не аннулирует модуль, для каждого α > 0 существует такое действительное число rα > 0, что aφ2 = a⋅α = arα для всех a ∈ M, следовательно,

a⋅(α + β) = a⋅α + a⋅β = arα + arβ = a(rα + rβ),

то есть

aφα+β = a(rα + rβ); rα+β = rα + rβ;

aφαβ = a(φα)φβ = a(rαrβ),

то есть rαβ = rαrβ, тогда отображение α → rα будет кольцевым Y-изоморфизмом R на подкольцо поля действительных чисел. Из архимедовости кольца операторов R φ является тождественным Y-автоморфизмом [4], то есть α → rα, откуда следует, что a⋅α = aα, что и требовалось доказать.


Библиографическая ссылка

Ледяева А.С., Мамаев И.И. Y-простые линейно упорядоченные модули // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6. – С. 76-77;
URL: http://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=31988 (дата обращения: 21.01.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074