Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,909

Общий случай модели Леонтьева – Форда

Гулай Т.А. 1 Копылова Е.П. 1 Сурмачева А.В. 1
1 Ставропольский государственный аграрный университет
1. Леонтьев В.В., Форд Д. // Экономика и математические методы. – 1972. – № 3.
2. Стеценко В.Я. Модель Леонтьева – Форда межотраслевого баланса, учитывающая экологический фактор // XV Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях». – Тамбов, 2002. – Т 5. – С. 154–157.
3. Стеценко В.Я., Галкина В.А. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору линейных и нелинейных положительных операторов. – Ставрополь: СтГТУ, 1993. – 26 с. – Деп. в ВИНИТИ, 1069-В-93.
4. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. – М.: Наука, 1969. – 455 с.
5. Колодяжная Т.А., Гробова Т.А. Применение теоремы о средних величинах при доказательстве неравенств // Научно-инновационные достижения СМС в области физико-математических наук и технических дисциплин: 52 научно-методическая конференция. – Ставрополь, 2007. – С. 128–131.

Загрязнение окружающей среды – побочный продукт обычной экономической деятельности.

Побочные продукты (как ценные, так и неценные) непосредственно связанны с системой физических взаимодействий, определяющих повседневное функционирование экономической системы. Техническую взаимозависимость между уровнями выпуска желательных и нежелательных продуктов, можно описать в терминах коэффициентов, которые используются для выявления взаимозависимости между всеми обычными отраслями производства и потребления. Поэтому побочные продукты производственной деятельности и потребления следует рассматривать как часть экономической системы. Модель, учитывающая экологический фактор известна как модель Леонтьева-Форда [1]:

Eqn54.wmf

Рассмотрим модель межотраслевого баланса, в которой учтены требования экологии

Eqn55.wmf (1)

представляющей из себя систему линейных неравенств.

Рассмотрим случай, когда A13(y) ≠ θ. В этом случае модель Леонтьева – Форда имеет вид:

Eqn56.wmf (2)

и предусматривает утилизацию вредных отходов. Решение этой системы обозначим через Eqn57.wmf, Eqn58.wmf (если это решение существует).

Для нахождения решения данной системы используется теорема:

Теорема 1. Пусть (x2, y2) – решение системы (2) – с утилизацией вредных отходов, (x1, y1) – решение системы

Eqn59.wmf (3)

без утилизации вредных отходов. Тогда справедливо неравенство

(x2, y2) ≤ (x1, y1).

Приближенное решение модели Л-Ф

Рассмотрим алгоритм приближенного решения уравнений вида

x = A1x + A2x + f, (4)

где A1 – монотонно возрастающий оператор; A2 – монотонно убывающий оператор, ибо модель (2) является моделью именно такого вида, т.е. A1↑, A2↓. Можно доказать утверждение:

Теорема 2. Пусть A1, A2 – монотонные относительно конуса K операторы, причем A1↑, A2↓ и существуют такие два элемента u0, v0 (u0 < v0), для которых выполняется условие

Eqn60.wmf (5)

Eqn61.wmf (6)

относительно конуса. Тогда для un, vn, определенных формулами

Eqn62.wmf (7)

Eqn63.wmf (8)

где (n = 0, 1, ...), справедливы неравенства

un ≤ un+1; vn ≤ vn+1.(9).

Тогда вектор Eqn64.wmf является решением уравнения (4).

Границы u1, v1 решения x* можно заметно сблизить, если воспользоваться следующим результатом Стеценко В.Я., приведенного в [4].

Теорема 3. Пусть в условиях теоремы 2 число m ≥ 0 таково, что u1 – u0 ≥ m(v1 – v0); v0 – v1 ≥ m(u1 – u0).

Тогда для решения x*справедливо неравенство

Eqn65.wmf (10)

При этом Eqn66.wmf.

Формулу (10) можно рассматривать как рекуррентный процесс построения последовательностей Eqn67.wmf, Eqn68.wmf. Последовательности Eqn67.wmf, Eqn68.wmf монотонно по недостатку и по избытку (соответственно) сходятся к x*, и, как правило, существенно быстрее, чем un, vn.

Приведем еще пример построения монотонных приближений к решению на этот раз для случая задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

Рассмотрим задачу Коши: найти решение дифференциального уравнения

Eqn69.wmf (11)

Перейдем от этой задачи Коши к следующему эквивалентному интегральному уравнению

Eqn70.wmf (12)

Эквивалентность понимается здесь в том смысле, что каждое непрерывное решение уравнения (12) является решением задачи (11). Заметим, что в промежутке (0; 1) подынтегральная функция в правой части (12) положительная, а на (1; +∞) – отрицательная. Поэтому оператор

Eqn71.wmf (13)

возрастающий, а оператор

Eqn72.wmf (14)

убывающий. При этом задача (11) принимает вид

y = Ty(x), (15)

где T = T1 + T2, причем T1↑, а T2↓. Для приближенного решения уравнения (11) можно воспользоваться методом

Eqn73.wmf

Eqn74.wmf (n = 0, 1, ...)

где v0 и w0 таковы, что

Eqn75.wmf

Eqn76.wmf

Обозначим через m ≥ 0 такую постоянную, для которой

Eqn77.wmf Eqn78.wmf (16)

и положим

Eqn79.wmf Eqn80.wmf (17)

Тогда Eqn81.wmf.

Т.е. Eqn82.wmf и Eqn83.wmf располагаются к решению x* уравнения x = Tx + f, вообще говоря, намного ближе, чем v1 и w1. Переход от v1, w1 к Eqn82.wmf, Eqn83.wmf согласно формулам (16), (17) представляет способ ускорения сходимости приближений к решению x*.


Библиографическая ссылка

Гулай Т.А., Копылова Е.П., Сурмачева А.В. Общий случай модели Леонтьева – Форда // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6. – С. 66-67;
URL: http://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=31982 (дата обращения: 28.01.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074