Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,916

С-ТОЧНЫЕ ПАРЫ НАТУРАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В АНАЛИЗЕ И В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Сухотин А.М.
В докладе рассматриваются инъективные отображения 1 на множестве N натуральных чисел и некоторые приложения понятия С-точной пары переменных.

1. О С-точных парах переменных и сюръективности отображений 1

Пара (m, k) натуральных переменных m A и kB называется [1] С-точной парой, если для каждых соседних в Е f fN элементов m и k найдётся число С такое, что

|m-k|<C.                        (1)

Пусть ξ fff, ff f и f. Пусть далее, Ni ff и Di f Ni |φ (Ni ). Функция φ: N→N и ξ определяют последовательности {δi } и {di }, f, где δi f f {φ(n)- ni } ≥ 0 и di f |Di  | ≥ 0. Очевидно, что условие ∃ξ f di = 0 является достаточным для сюръективности отображения φ. Примеры показывают, что это условие не является необходимым. Функция 1определяет последовательность {f }, nN, целых чисел f f φ(n)-n. Очевидно, что если f и f, то fНо существует пара (x, ) такая, что

δξ = δφ.               (2)

Доказаны с использованием, в частности, (2) следующие предложения.

Утверждение 1. Для инъекции φ: N→N справедливо следующее условие:

f            (3)

Утверждение 2. Если φ: N→N, то ∃ C, С ≥ 0:

f            (4)

Утверждение 3. Если φ: N→N, то

f, или, что эквивалентно, Ni φ ( Ni+j ). (5)

Теорема 1. Условия (4) и (5) являются независимыми необходимые условиями сюръективности инъективного отображения φ: N→N, а их совместное выполнение является достаточным условием сюръективности этого отображения.

Утверждение 4. Из условия (3) следует, что для любой последовательности ξ существует число f такое, что fd

Утверждение 5. Для всякой пары (m, k) переменных fсуществует число С>0 такое, что пара (m, k) является С-точной парой (1).

Следствием Теоремы 1 является [1, c. 89]

Теорема 2. Не существует биекции между множеством N и его собственным подмножеством.

2. Приложения понятия С-точной пары переменных

Определение 1. Числовая последовательность (а) называется (ср. [1, c. 98]) w-сходящейся последовательностью (widely convergent sequence - w-CS), если:

f       (6)

С помощью понятия С-точной пары (1) и условия (6) доказано, что множество {w-CS} совпадает с множеством {FS} фундаментальных последовательностей (последовательностей Коши). Не ограниченная конечным числом последовательность Коши f сходится, по определению [1, c. 100], к бесконечно большому числу (ILN) Ω(а). Например, последовательность f для α>0  является w-CS, так как

f

Переход от теории числовых последовательностей к анализу даёт [1, c. 101]

Теорема 3. Неограниченная дифференцируемая в ±∞ функция f сходится к соответствующему ILN Ω (f) тогда и только тогда, когда f.

Предельный переход в формуле Лагранжа, записанной для функции f:

f,

составляет доказательство Теоремы 3.

Теорема 3 позволяет доказать, что последовательность {f }, определённая для всех f, например, формулой f, при f, сходится к соответствующему ILN f.

Как известно, количество f простых чисел pp ≤ x, определяется асимптотической формулой f. Так как функция g неограниченна и g´ (∞) = 0, то по Теореме 3 f. Следовательно, количество всех простых чисел равно некоторому ILN f, что объясняет неограниченность последовательности d, расстояний между последовательными простыми числами.

Пусть для сходящегося числового ряда f  Следовательно, остаток rk ряда определяется равенством f. Тогда f. Пара (k, m) переменных в последнем предельном равенстве является (Утверждение 5) C -точной парой натуральных переменных, то есть ∃ C, С > 0, такое что, f Поэтому из f →0 следует [1, c. 105], что

f

Доказана [1, c. 107] независимость сходимости числового знакопеременного ряда от перестановки его слагаемых, для чего, в частности, из понятия частичной суммы ряда f и его остатка были выделены значения этих сумм (конечной и бесконечной, соответственно). Это утверждение иллюстрируется с помощью С-точной пары (1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Cухотин А.М. Начало высшей математики: учеб. пособие . - 2-е изд., перераб. и доп. - Томск: Изд-во ТПУ, 2004. - 148 с.


Работа представлена на научную международную конференцию «Проблемы высшего и профессионального образования», 8-15 августа 2007 г., Коста Брава (Испания). Поступила в редакцию 05.06.2007.

Библиографическая ссылка

Сухотин А.М. С-ТОЧНЫЕ ПАРЫ НАТУРАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В АНАЛИЗЕ И В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ // Современные наукоемкие технологии. – 2007. – № 12. – С. 62-63;
URL: http://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=25814 (дата обращения: 05.06.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074