Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,916

СИММЕТРИЧНОЕ ТЕЧЕНИЕ ТЯЖЕЛОЙ ЛИНЕЙНО-ВЯЗКОЙ СРЕДЫ В ЗАЗОРЕ ВРАЩАЮЩИХСЯ ВАЛКОВ (ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ)

С. О. Зубович
Составлена математическая модель процесса валкового течения ньютоновской среды, учитывающая влияние гравитационных сил. Течение материала сверху — вниз. Вальцевание симметричное. Перерабатываемый материал прилипает к поверхности валков. выполнены оценки влияния гравитационного разделения гетерогенной системы на ее течение в зазоре и неизотермичности течения. Методом малого параметра выполнена оценка членов уравнений движения. Получен интеграл уравнения неразрывности.
Задача связана с течением маловязкой жидкой среды, подчиняющейся линейному закону Ньютона, в зазоре вращающихся с одинаковой угловой скоростью валков.

Процесс нанесения обрабатываемого материала на валки при аналогичном механизме течения имеет существенные отличия от наиболее близкого по схеме процесса каландрования полимерных материалов. Прежде всего, вязкость среды на 2-4 порядка ниже вязкости каландруемых полимеров, например, резиновых смесей. Поэтому, если для каландров из-за больших распорных усилий определяющими являются энергосиловые и механические расчеты, то при нанесении на валки составов типа паст или густых суспензий возникающие усилия сравнительно невелики и основным технологическим параметром процесса течения является толщина материала. При этом силы вязкого трения соизмеримы с силами  собственного веса жидкости. Подробный обзор работ, посвященных течению ньютоновских жидкостей в валковом зазоре, дан в работах [1, 2].

Цель работы - постановка задачи течения ньютоновской среды в зазоре вращающихся валков с учетом сил собственного веса жидкости.

Схема течения и система координат представлены на рис.1. Начало декартовой системы координат помещено в середине сечения минимального зазора. Ось у направлена горизонтально, ось x - вертикально вниз. Уровень жидкости x = x0 постоянен. Объемный расход жидкости G. Окружная скорость

Рис.1. Схема течения вязкопластической среды в вертикальном зазоре между валками:1 - валки, 2 - жидкость, 3,4 - первая (противотока) и вторая (прямотока) зоны вязкопластического сдвигового течения, 5 - квазитвердое ядро.

валков V, их радиус R. Минимальный зазор между валками 2H0 , а текущий 2h. Полагаем, что валки имеют достаточную длину, пренебрегая тем самым течением материала вдоль валков (задача квазиплоская). Окружные скорости валков одинаковы (задача симметричная), но малы и силы инерции не учитываем. Физические свойства жидкости не зависят от температуры и давления. Величина минимального межвалкового зазора мала по сравнению с радиусом кривизны валков (2H0 << R). Давление изменяется по длине зоны течения (∂p/∂y = 0). Среда описывается ньютоновской реологической моделью (τ = η(∂υ /∂y)). Направление течения сверху-вниз.

В качестве модельного объекта, вследствие его доступности для исследований, выбрана валковая сушилка, работающая на ОАО «Волжский Оргсинтез» для сушки изобутилового ксантогената калия (R = 0,6 м,H0= 10-3 м). На сушку подается сравнительно малоконцентрированная суспензия (содержание твердой фазы 4 % об., 9 % масс.),поэтому возможен процесс гравитационного разделения (отстаивания) твердой фазы в зоне течения. Это может привести к неоднородной концентрации частиц по объему зоны течения и существенному изменению реологических свойств суспензии и картины ее течения в валковом зазоре.

Пусть: диаметр частиц dч = 10 -5 м, плотность частиц ρт = 1400 кг/м3, жидкости ρж = 965 кг/м3; при температуре 45 °С вязкость бутилового спирта ηсп = 1,7·10-3 Па·с, вязкость воды ηв = 0,7·10-3 Па·с, вязкость суспензии η ≈ 1,4·10-3 Па·с.

Найдем скорость свободного осаждения частицы по формуле Стокса:

 

Высота зазора описывается параболой [3]: .

Для валка единичной ширины объем жидкости равен:

4,41·10-5 ÷ 1,70·10-2 м2.

Объем жидкости за минимальным зазором не учитывался.

Уровень жидкости в зависимости от изменения частоты вращения валков в пределах n = 4 ÷ 12 мин-1, рассчитанный по модели, составляет ℓ = 0,02 ÷ 0,31 м.

Пусть скорость жидкости на выходе равна окружной скорости валка. Можем записать для граничных значений с учетом напорного эффекта формулу для расчета двухмерного расхода жидкости:

Следовательно, время пребывания жидкости в валковом зазоре:

tпр = υж / G = 0,03 ÷ 16,91 с.

Путь осаждения частицы (или ее вертикальное перемещение) ℓос за время пребывания составит:

 ℓос = Vос / τпр = 1,00·10-6 ÷ 1,13·10-3 м.

Поскольку ℓос << ℓ, то изменением однородности реологических свойств жидкости в зазоре вследствие осаждения можно пренебречь.

Кроме того, однородности распределения частиц способствует циркуляция жидкости в рабочем зазоре, обусловленная противотоком на входе. Тепловая оценка процесса течения в валковом зазоре особенно важна для валковых сушилок. Материал на сушку подается при температуре ~ 45 °C. Температура поверхностей валков ~ 87 °С. Поэтому существует тепловой поток к материалу от поверхности валков. Предполагая, что течение у поверхности валка отсутствует, найдем глубину проникновения тепла в жидкость. Время теплового контакта жидкости с поверхностью валка в зоне течения (до выхода из зазора) составляет:

t ≈ ℓ / Vокр = (ℓ·30) / (R·π·n) = 0,05 ÷ 1,23 с.

Глубину проникновения тепла δ, предполагая жидкость полубесконечной толщины и пренебрегая кривизной поверхности валка, найдем по формуле (принимая для суспензии коэффициент теплопроводности μж = 0,4 Вт/(м·К), теплоемкость сp = 2,33 кДж/(кг·К)):

3,17·10-4 ÷ 1,57·10-3 м.

Следовательно, только в окрестности минимального зазора толщина прогрева достигает величины порядка миллиметра. Таким образом, размер зоны термического воздействия поверхности валка значительно меньше размеров зоны течения жидкости в клинообразном зазоре, поэтому изменением однородности реологических свойств жидкости в зазоре вследствие ее нагревания можно пренебречь.

В направлении оси z течение отсутствует (квазиплоская задача), поэтому дифференциальные уравнения Навье–Стокса для описания движения вязкой жидкости имеют вид:

Полное описание движения получают путем анализа уравнений Навье–Стокса совместно с уравнением неразрывности потока:

.

Изменим форму уравнения неразрывности. Выделим в зоне течения криволинейную трапецию, ограниченную сечениями х и х1. Определим поток вектора скорости через замкнутый контур, проинтегрировав уравнение (2) по высоте зазора:

 .

В выражении (3) учитывались граничные условия для поперечной скорости. Далее, учитывая соотношения:

 

и подставляя соотношения (4) в (3), получим интегральное уравнение неразрывности

, или

 

где G — постоянная. Согласно полученному выражению объемный расход жидкости для валка единичной ширины G постоянен по длине зоны течения.

 Выполним методом малого параметра оценку членов уравнений движения. Характерными размерами зоны течения (масштабами) являются: в направлении оси х — продольный размер ℓ, в направлении у – минимальный зазор H0. Введем параметры и безразмерные переменные:

 

С учетом параметров (6) уравнения движения (1) примут вид:

Для поперечной скорости в конвективных слагаемых уравнений используем ее представление через осевую скорость из уравнения неразрывности (2). После деления всех членов уравнений (7) на ηV/H0 2 получим безразмерную форму уравнений движения: Ведем рассмотрение задачи в рамках стоксова приближения (Re << 1).

Число Рейнольдса составляет: Re = ε ρVH0 / η = 0,0155.

Оценка сил собственного веса жидкости: St = ρgH0 2 / (ηV) = 1,4506. Видно, что силы собственного веса жидкости следует учитывать, поскольку они на два порядка превосходят силы инерции.

Кроме того, в рассматриваемом случае (H0 ≈ 10-3 м, ℓ ≈ 0,3 м) имеет место неравенство ε << 1. В уравнениях (8) слагаемыми, содержащими множитель ε2, пренебрегаем:

 

При этом из уравнения неразрывности (2) можем записать:

 

Обозначим комплекс в первом уравнении движения (9) P = H0 2 p / (ηVℓ) как безразмерное давление. При этом уравнения движения (9) с учетом выражения (10) примут вид:

 

Из полученных уравнений (11) видно, что давление в поперечном направлении (по y) является величиной порядка ε2 и им можно пренебречь. Для описания течения, с учетом принятых допущений, следует использовать первое уравнение движения (1), учитывающее силы собственного веса, давления и вязкого трения. Поскольку давление изменяется только по длине канала, а поле скоростей двумерно это приближение можно назвать квазиплоским.

С учетом принятых допущений течение описывается системой дифференциальных уравнений движения (включая гравитационный член), неразрывности и реологического состояния:

Во входном x = x0 и выходном x = x1 сечениях давление равно атмосферному и без снижения общности полагаем p = 0.

Таким образом, уравнения (12) следует дополнить следующими граничными условиями:

 входное сечение

 x = x0, p = 0, (13)

условие прилипания

y = h, υx = V, (14)

выходное сечение

x = x1, p = 0, υx = V, τxy(y = h)= 0, (15)

условие симметричности

x0 < x < x1, y = 0, γ = 0, τxy = 0. (16)

Список литературы

  1. Зубович С.О., Шаповалов В.М. // Известия ВолггТу (сер. реология, процессы и аппараты химической технологии): меж- вуз. сб. науч. ст. — №11(37). — Волгоград, 2007. — С. 33.
  2. Клинков А.С., Соколов М.В., Кочетов В.И. Автоматизированное проектирование валковых машин для переработки полимерных материалов. — М.: Издательство машиностроение — 1, 2005. — С. 5.
  3. Мак-Келви Д.М. Переработка полимеров. — М.: Химия, 1965. — С. 230.

Библиографическая ссылка

С. О. Зубович СИММЕТРИЧНОЕ ТЕЧЕНИЕ ТЯЖЕЛОЙ ЛИНЕЙНО-ВЯЗКОЙ СРЕДЫ В ЗАЗОРЕ ВРАЩАЮЩИХСЯ ВАЛКОВ (ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ) // Современные наукоемкие технологии. – 2010. – № 6. – С. 77-82;
URL: http://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=24964 (дата обращения: 14.08.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074