Цель работы – изложить и обосновать метод компьютерной идентификации области действительных корней полинома, структуры их расположения и идентификации самих корней на основе устойчивой адресной сортировки. Метод распространяется на аналитические функции и трансцендентные уравнения. Идентифицируются минимумы модуля дискретизированной функции. Используется принцип минимума модуля Шварца – вне области корней такие минимумы не существуют. Напротив, в области корней минимумы модуля легко идентифицируются при дискретизации. Метод реализует программа стандартного вида, которая не применяет математических преобразований полиномов и функций. Вычисляются только входные значения модуля полинома (функции) на каждом шаге дискретизации, по ходу программы выполняются лишь операции сравнения значений, что позволяет избегать накопления погрешности. Изменяется тело подпрограммы, задающей входную функцию, могут меняться, кроме того, числовые параметры – начальные, в частности произвольно расширенные, границы области корней и радиус локализации одновременно каждого из корней. На момент выполнения программы все параметры фиксируются. Достоверность работы реализующей метод программы иллюстрируется на множестве функций и границ области их действительных корней. Как правило, все корни идентифицируются без пропуска, с точностью до представления числовых данных в формате extended языка программирования Delphi. Нарушения точности связаны с выходом из границ числового диапазона.
The purpose of the work is to present and justify a method for computer identification of the domain of the real roots of a polynomial, the structure of their arrangement, and the identification of the roots themselves based on stable address sorting. The method applies to analytical functions and transcendental equations. The minima of the modulus of the discretized function are identified. The Schwarz’s minimum modulus is applied. Such minima do not exist outside the domain of the roots. Conversely, within the domain of the roots, the minima of the modulus can be easily identified during discretization. The method is implemented through a standard program that does not apply mathematical transformations to the polynomials and functions. Only the input values of the polynomial modulus (or function) are computed at each step of discretization, and only comparison operations are carried out during the program, which helps to avoid the accumulation of errors. The body of the subprogram defining the input function is changing. Besides, the numerical parameters may change: the initial ones, in particular, arbitrarily expanded ones, the boundaries of the root domain and the localization radius for each of the roots at the same time. At the time of program execution, all parameters are fixed. The reliability of the program implementing the method is illustrated through the set of functions and the boundaries of their real root domains. Generally, all roots are identified without omission, with precision up to the representation of numerical data in the extended format of the Delphi programming language. Accuracy violations are associated with going beyond the boundaries of the numerical range.
1. Уилкинсон Д.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. 564 с. [Электронный ресурс]. URL: https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/Uilkinson1970ru.pdf (дата обращения: 09.06.2025).
2. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1960. 656 с.
3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. СПб.: Лань, 2023. 416 с.
4. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Физматгиз, 1966. 665 с. [Электронный ресурс]. URL: https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/DemidovichMaron1966ru.pdf (дата обращения: 27.06.2025).
5. Иванисов А.В., Полищук В.К. Метод нахождения корней полиномов, сходящийся при любом начальном приближении // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1985. Т. 25. № 5. С. 643–653. URL: https://www.mathnet.ru/links/764d818bac0591e6d115fc801602e439/zvmmf4182.pdf (дата обращения: 14.06.2025). Англоязычная версия: USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1985. Vol. 25, Is. 3. P. 1–7. DOI: 10.1016/0041-5553(85)90066-7.
6. Суетин С.П. Распределение нулей полиномов Паде и аналитическое продолжение // Успехи математических наук. 2015. Т. 70. Вып. 5 (425). С. 121–174. DOI: 10.4213/rm9675.
7. Задорожний В.Г. Условия, при которых корни многочлена лежат внутри единичного круга // Вестник ВГУ. Серия: Системный анализ и информационные технологии. 2018. № 2. С. 22–25. URL: https://journals.vsu.ru/sait/article/view/1206 (дата обращения: 07.06.2025). DOI: 10.17308/sait.2018.2/1206.
8. Mohammad J. Mahtabi, Arash Ghasemi, Amirehsan Ghasemi, James C. Newman. III. Polynomial Approximation over Arbitrary Shape Domains // Mathematical and Computational Applications. 2024. № 29 (6). P. 110. URL: https://www.mdpi.com/2297-8747/29/6/110 (дата обращения: 14.06.2025). DOI: 10.3390/mca29060110.
9. Скляр А.Я. Численные методы нахождения корней многочленов с действительными и комплексными коэффициентами // Программные системы и вычислительные методы. 2024. № 3. С. 64–76. URL: https://nbpublish.com/library_read_article.php?id=71103 (дата обращения:14.06.2025). DOI: 10.7256/2454-0714.2024.3.71103.
10. Калинина Е.А. Применение алгебраических методов для анализа сложных систем: дис. … докт. физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 2016. 257 с. [Электронный ресурс]. URL: https://disser.spbu.ru/files/2018/kalinina_e_a_disser.pdf (дата обращения: 14.06.2025).
11. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ: Функции одного переменного. Ч. 1. М.: Издательская группа URSS, 2024. 344 с. [Электронный ресурс]. URL: https://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=320983&srsltid=AfmBOor8eUWzNSpkIO25vx8VtuNWMN6wDG8bdGNSqDhktwZvMFQlaLLQ (дата обращения: 14.06.2025).
12. Ромм Я.Е. Идентификация нулей и экстремумов функций на основе сортировки с приложением к анализу устойчивости. I. Случай одной действительной переменной // Современные наукоемкие технологии. 2020. № 6–1. С. 79–97. URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=38075 (дата обращения: 14.06.2025). DOI: 10.17513/snt.38075.
13. Ромм Я.Е. О границах идентификации корней полиномов на основе устойчивой адресной сортировки // Современные наукоемкие технологии. 2021. № 12–1. С. 84–108. URL: https://top-technologies.ru/article/view?id=38959 (дата обращения: 14.06.2025). DOI: 10.17513/snt.38959.
14. Джанунц Г.А., Ромм Я.Е. Варьируемое кусочно-интерполяционное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с итерационным уточнением // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2017. Т. 57. № 10. С. 1641–1660. URL: https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=zvmmf&paperid=10624&option_lang=rus (дата обращения: 07.08.2025). DOI: 10.7868/S0044466917100076.
15. Немирович-Данченко М.М. Анализ комплексных корней характеристического полинома преобразования Прони в скользящем окне при обработке записей ЭЭГ // Известия Томского политехнического университета. Промышленная кибернетика. 2021–6Т. 1. № 4. С. 1–6. URL: https://earchive.tpu.ru/bitstream/11683/81926/1/b_TPU_IndCyb-2023-v1-i4-01.pdf (дата обращения: 07.06.2025). DOI: 10.18799/29495407/2023/4/37.