Представлены необходимые и достаточные условия устойчивости, а также асимптотической устойчивости по Ляпунову решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида. Первая разновидность представленных условий формулируется в границах существования и единственности решения на полуоси, кроме того, требуется непрерывность правой части системы и ее непрерывная дифференцируемость на полуоси. Вторая разновидность необходимых и достаточных условий устойчивости формулируется в тех же ограничениях, но без требования дифференцируемости правой части. Первая разновидность использует в формулировке отношение компонента решения к его начальному значению. Вторая разновидность использует только компоненты правой части дифференциальной системы и их отношение к соответственным начальным значениям. Обе разновидности опираются исключительно на вид системы, не преобразуют ее и не применяют построение функции Ляпунова. Предложенные критерии дополнены разновидностями достаточных условий. Так, достаточные условия асимптотической устойчивости решения даны для случая системы, компоненты правой части которой и их производные имеют постоянные знаки на полуоси. Для этого же случая даны достаточные условия неустойчивости. В обоих случаях критерии опираются на теорему Коши о среднем значении и используют отношения компонентов правой части к соответственным начальным значениям. Кроме того, результаты дополнены необходимыми и достаточными условиями устойчивости и асимптотической устойчивости линейных дифференциальных систем с постоянной и переменной матрицей коэффициентов. Рассмотрен способ линеаризации системы. Предложенные критерии допускают компьютерную реализацию, примеры которой приводятся в работе.

The necessary and sufficient conditions for the stability and asymptotic Lyapunov stability of solutions of the general form of ordinary differential equations’ systems are presented. The first kind of the presented conditions is formulated within the boundaries of the existence and uniqueness of the solution on the semi-axis, in addition, the continuity of the right part of the system and its continuous differentiability on the semi-axis is required. The second kind of necessary and sufficient stability conditions is formulated in the same constraints, but without the requirement of differentiability of the right part. The first type in the formulation uses the ratio of the solution component to its initial value. The second one applies only the components of the right part of the differential system and their relation to the corresponding initial values. Both varieties rely solely on the type of the system, do not transform it and do not apply the construction of the Lyapunov function. The proposed criteria are supplemented by varieties of sufficient conditions. Thus, sufficient conditions for the asymptotic stability of the solution are given for the case of a system where the right-hand side components and their derivatives have stability signs on the semi-axis. Sufficient instability conditions are given for the same case. In both cases, the criteria are based on the Cauchy’s mean value theorem and use the ratios of the components of the right-hand side to the corresponding initial values. The results are supplemented with necessary and sufficient conditions for stability and asymptotic stability of linear differential systems with constant and variable coefficient matrices. The method of linearization of the system is considered. The proposed criteria allow for computer implementation, examples of which are given in the paper.