Данная работа посвящена изучению симметрических многочленов и возможностей их применения при решении математических задач повышенного уровня сложности. Во введении обосновывается актуальность изучения симметрических многочленов, формулируется цель исследования. Изложение основного материала статьи поделено на две части: изучение симметрических многочленов от двух и трех переменных соответственно. Каждая из частей предваряется теоретическим материалом, который затем применяется для решения практических задач. Так, симметрические многочлены от двух переменных применяются при решении систем уравнений. В частности, объясняется, как с помощью замены неизвестных симметрическими многочленами можно значительно упростить исходную систему, понизив степени входящих в нее уравнений. Это, прежде всего, относится к нелинейным системам. С помощью симметрических многочленов от трех переменных разбираются следующие задачи: разложение многочлена на множители, избавление от иррациональности в знаменателе дроби, которые также с помощью замены неизвестных симметрическими многочленами сводятся к более простым задачам. Все описанные выше задачи рассматриваются в школе в рамках углубленного изучения математики, в школьных кружках, при подготовке к олимпиадам по математике.

This work is devoted to the study of symmetric polynomials and the possibilities of their application in solving mathematical problems of increased complexity. The introduction substantiates the relevance of the study of symmetric polynomials, and formulates the purpose of the study. The presentation of the main material of the article is divided into two parts: the study of symmetric polynomials of two and three variables, respectively. Each of the parts is preceded by theoretical material, which is then used to solve practical problems. Thus, symmetric polynomials of two variables are used in solving systems of equations. In particular, it explains how by replacing unknowns with symmetric polynomials, it is possible to significantly simplify the original system by lowering the degrees of the equations included in it. This primarily applies to nonlinear systems. With the help of symmetric polynomials from three variables, the following tasks are dealt with: decomposition of a polynomial into multipliers, getting rid of irrationality in the denominator of a fraction, which are also reduced to simpler tasks by replacing unknowns with symmetric polynomials. All the tasks described above are considered at school as part of an in-depth study of mathematics, in school circles, in preparation for math Olympiads.