Из трех аспектов процесса обучения (содержательного, методического, прагматического) в статье затрагивается именно содержательный. Описывается метод улучшения доказательства теоремы Кронекера – Капелли в курсе линейной алгебры. В результате строится оптимальное доказательство в смысле понимания его студентами. Результат не претендует на какой-либо вклад непосредственно в математическую науку, это научный педагогический результат. В статье рассматривается значительное количество учебных пособий по линейной алгебре. Для каждого пособия строится контекст доказательства этой теоремы, то есть кроме содержания доказательства рассматривались содержательные темы, понятия и теоремы, с помощью которых производилось рассматриваемое доказательство. На основе анализа всех этих контекстов логико-математическими методами был построен оптимальный контекст доказательства теоремы Кронекера – Капелли (в смысле понимания его студентами). Для оптимизации использовался метод декомпозиции, аналогичный применяемому в структурном программировании: проект не должен содержать больших программных модулей (в составе более 10 операторов), большие модули должны разбиваться на части. В результате теорем и понятий будет большее количество, но при этом они будут легче для понимания. Описанная процедура может быть применена к любой другой математической теореме, поскольку логические особенности доказательства теоремы Кронекера – Капелли никак с этой процедурой не связаны.

Of the 3 aspects of the learning process (substantive, methodological, pragmatic), the article touches on the content one. A method for improving the proof of the Kronecker – Capelli theorem in the course of linear algebra is described. As a result, an optimal proof is constructed in the sense of students’ understanding of it. The result does not claim any contribution directly to mathematical science, it is a scientific pedagogical result. The article discusses a significant number of textbooks on linear algebra. For each manual, the context of the proof of this theorem is constructed, that is, in addition to the content of the proof, substantive topics, concepts and theorems were considered, with the help of which the proof in question was produced. Based on the analysis of all these contexts by logical and mathematical methods, the optimal context of the proof of the Kronecker – Capelli theorem was constructed (in the sense of understanding it by students). For optimization, a decomposition method similar to that used in structural programming was used: the project should not contain large program modules (consisting of more than 10 operators), large modules should be divided into parts. As a result, there will be more theorems and concepts, but at the same time they will be easier to understand. The described procedure can be applied to any other mathematical theorem, since the logical features of the proof of the Kronecker – Capelli theorem have nothing to do with this procedure.