Предложен компьютерно-ориентированный метод анализа устойчивости в смысле Ляпунова решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), который выполняется по сочетаниям знаков числовых значений компонентов решения и их производных. Даны необходимые и достаточные условия устойчивости, а также асимптотической устойчивости в инвариантной форме, выражающие отношения компонентов решения к компонентам начальных значений, изложено их обоснование. Описаны эквивалентные критерии устойчивости и асимптотической устойчивости, представляющие собой интегральное обобщение условий для случаев произвольного сочетания и чередования знаков компонентов решения и производных. Изложены разновидности достаточных условий устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости решений на основе знаков компонентов правой части системы ОДУ и их производных, в том числе в интегральной форме, даны примеры аналитического использования. В целом предложенные критерии позволяют оценивать устойчивость решения по виду компонентов правой части системы и их производных без знания самого решения. В случае компьютерной реализации критериев это не принципиально, поскольку вычисляется приближенное решение системы. Производные правой части априори выражаются аналитически по формулам производной сложной функции, по ходу приближенного решения выполняется подстановка значений решения в выражения производных. Представлена инвариантная программная реализация критериев на основе разностного решения системы ОДУ по методу Эйлера. Даны программные коды и описаны численные эксперименты, которые иллюстрируют особенности результатов работы программ и достоверность предложенных критериев устойчивости.
A computer-oriented method for analyzing the stability according to Lyapunov solutions of ordinary differential equations (ODEs) systems is proposed, which is performed by combinations of signs of the numerical values of the solution components and their derivatives. The necessary and sufficient conditions for stability, as well as asymptotic stability in an invariant form, expressing the relations of the solution components to the components of the initial values, are given and their justification is presented. The equivalent criteria of stability and asymptotic stability are described, which are an integral generalization of the conditions for cases of arbitrary combination and alternation of signs of the solution components and derivatives. The varieties of sufficient conditions for stability, asymptotic stability and instability of solutions based on the signs of the components of the right-hand side of the ODE system and their derivatives, including the ones in integral form as well, are described and examples of the analytical use are given. In general, the proposed criteria allow us to assess the stability of the solution by the type of components of the right-hand side of the system and their derivatives without knowing the solution itself. In the case of a computer implementation of the criteria, this is not important, since an approximate solution of the system is calculated. The derivatives of the right-hand side are expressed analytically by the formulas used for the computing the derivative of a complex function. In the course of the approximate solution, the values of the solution are substituted into the expressions of the derivatives. An invariant software implementation of the criteria based on the difference solution of the ODE system by the Euler method is presented. Program codes are given and numerical experiments, which illustrate the features of the results of the programs and the reliability of the proposed stability criteria, are described.
1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Изд-во «Науку – всем», 2019. 480 с.
2. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001. 376 с.
3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2010. 558 с.
4. Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Рапопорт Л.Б. Математическая теория автоматического управления. М.: ЛЕНАНД, 2019. 500 с.
5. Новиков М.А. О вычислительных способах достаточных условий устойчивости автономных консервативных систем // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2014. № 1 (41). С. 28–36.
6. Giesl P.A., Hafstein S.F. Computation of Lyapunov functions for nonlinear discrete time systems by linear programming // J. Difference Equ. Appl. 2014. 20. P. 610–640.
7. Giesl P.A., Hafstein S.F. Revised CPA method to compute Lyapunov functions for nonlinear systems // J. of Math. Anal. And Appl. February 2014. Vol. 410. Issue 1. P. 292–306.
8. Giesl P.A., Hafstein S.F. Review on computational methods for Lyapunov functions // Discrete & Continuous Dynamical Systems. B. 2015. 20 (8). P. 2291–2331.
9. Ромм Я.Е. Компьютерно-ориентированный анализ устойчивости решений дифференциальных систем // Современные наукоемкие технологии. № 4. 2020. С. 42–63. DOI: 10.17513/snt.37973.
10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. СПб.: Изд-во «Лань», 2018. 608 с.
11. Крищенко А.П. Устойчивость движения автономных систем. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. 44 с.
12. Ромм Я.Е. Моделирование устойчивости по Ляпунову на основе преобразований разностных схем решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия РАН. Математическое моделирование. 2008. Т. 20. № 12. С. 105–118.
13. Ромм Я.Е. Компьютерно-ориентированный анализ устойчивости на основе рекуррентных преобразований разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. 2015. Т. 51. № 3. С. 107–124.
14. Пиголкина Т.С. Автономные системы. Фазовые траектории. Элементы теории устойчивости. М.: Издво МФТИ, 2013. 40 с.
15. Ромм Я.Е., Буланов С.Г. Численное моделирование устойчивости по Ляпунову // Современные наукоемкие технологии. 2021. № 7. С. 42–60. DOI: 10.17513/snt.38752.
16. Джанунц Г.А., Ромм Я.Е. Варьируемое кусочно-интерполяционное решение задачи Коши для обыкновенных
17. дифференциальных уравнений с итерационным уточнением // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2017. Т. 57. № 10. С.