В последние два десятилетия для описания динамики нелинейных систем в терминах «вход-выход» используются так называемые ряды Вольтера. При применении этих рядов математическая модель идентифицируемой системы кроме стандартного одномерного уравнения Вольтера включает интегральные уравнения Вольтера большей размерности (двумерное, трехмерное и т.д.). Для стационарных систем ядра этих уравнений являются разностными, т.е. их значения зависят от разности аргументов. Непараметрическая идентификация моделей, использующих ряды Вольтера, заключается в построении оценок для импульсных переходных функций (ИПФ), зависящих от двух и более аргументов, что, естественно, делает алгоритмы идентификации существенно сложнее по сравнению с одномерным случаем. В работе рассматривается один подход к идентификации двумерной ИПФ, использующий смешанные производные второго порядка от выходного сигнала системы, когда на ее вход подается серия прямоугольных импульсов разной амплитуды в разные моменты времени. Как известно, задача дифференцирования является некорректно поставленной задачей. Поэтому принципиальной проблемой реализации этого подхода является устойчивое вычисление смешанных производных второго порядка по зашумленным данным. Для преодоления этой проблемы в работе предлагается использовать двумерный сглаживающий кубический (бикубический) сплайн (сокращено СБС). Построение СБС для идентификации двумерной ИПФ обуславливает две задачи: задание и реализация разнотипных краевых условий на границе прямоугольной области, в которой определяется СБС; оценивание оптимальных значений двух параметров сглаживания из-за разной «гладкости» ИПФ по разным двум аргументам. В работе предлагается приемлемое решение этих двух задач. Выполненный вычислительный эксперимент показал хорошую точность предлагаемого алгоритма вычисления смешанных производных при искажении исходных данных шумами различного уровня.

Over the past two decades, the Volterra series are widely used to describe the dynamics of nonlinear systems in input-output terms. When applying these series, a mathematical model of the system identified includes the Volterra integral equations of higher dimension (two-dimensional, three-dimensional, etc.) in addition to the standard one-dimensional Volterra equation. For stationary systems, the kernels of these equations are difference, i.e. their values depend on difference in the arguments. A non-parametric identification of the models represented by the Volterra series consists in estimates construction for impulse transient functions (ITFs) depending on two or more arguments. It naturally makes identification algorithms much more complicated in comparison with the one-dimensional case. The paper considers one approach to the identification of a two-dimensional ITF, using mixed second-order derivatives of an output signal of a system, when a series of different-amplitude rectangular pulses is applied to the input of a system at different times. It is known that differentiation is an ill-posed problem. In this context, a stable calculation of second-order mixed derivatives of noisy data is the fundamental problem when this method is implemented. The solution to this problem is proposed to find by two-dimensional smoothing cubic, or bicubic, splines (abbreviated SBS). The construction of SBS for two-dimensional ITF identification poses two matters: firstly, the matter of different-type boundary conditions definition on the border of rectangular SBS definition domain, and, secondly, the matter of optimal values estimation for two smoothing parameters due to the different ITFs smoothness for different arguments. The paper proposes an acceptable solution to these two matters. The computational experiment performed presents a high accuracy of the algorithm proposed for calculation of mixed derivatives even when initial data are noise-contaminated.