Кусочно-интерполяционное приближение функций одной вещественной переменной, производных и интегралов строится с помощью интерполяционных полиномов Лагранжа и Ньютона. Полиномы преобразуются к виду алгебраических полиномов с числовыми коэффициентами с помощью восстановления коэффициентов полинома по его корням. Применяются формулы, отличные от формул Виета и не использующие уравнения Ньютона для симметрических функций корней. Представлены примеры и программы вычисления функций с точностью до 10-19–10-20. Для повторяющихся функций соответственные подынтервалам коэффициенты записываются в память компьютера. В этом случае временная сложность вычисления функции составит T = O(n), где n – степень полинома, в частности n может быть достаточно малым натуральным числом. На данной основе строится приближение подынтегральных функций. Получены формулы приближенного вычисления интеграла, являющиеся аналогами подхода Ньютона – Котеса. Формулы реализованы и запрограммированы для произвольного n. В полученном виде полиномы интерполируют правые части обыкновенных дифференциальных уравнений, выражение первообразных используется для приближения решения. Выполняется итерационное уточнение. Дано доказательство сходимости метода, указаны оценки скорости сходимости. Для верификации достоверности результатов приведены программы, использованные в численных экспериментах. Представлены оценки погрешности, результаты численного эксперимента для жестких и нежестких задач в моделях физических, химических процессов, для задач планетной астрономии. Во всех экспериментально рассмотренных случаях предложенный метод обладает сравнительно малой погрешностью, отличаясь фиксированной границей накопления погрешности на большом промежутке решения.

Piecewise interpolation approximation of functions of one real variable, derivatives and integrals is constructed with the help of Lagrange and Newton interpolation polynomials. The polynomials are transformed to the form of algebraic polynomials with numerical coefficients by restoring the coefficients of the polynomial from its roots. Formulas different from Vieta\'s formulas are applied without Newton\'s equations for symmetric functions of the roots. Examples and programs for calculating functions with an accuracy of 10-19 – 10-20 are presented. For repeated functions, the coefficients corresponding to the subintervals are recorded in the computer\'s memory. In this case, the time complexity of the function calculation will be T = O(n), where n is the degree of the polynomial, in particular, n can be a sufficiently small natural number. On this basis, the approximation of integrands is constructed. Formulas for the approximate calculation of the integral, which are analogs of the Newton-Cotes approach, are obtained. Formulas are implemented and programmed for arbitrary n. In the resulting form, the polynomials interpolate the right-hand sides of ordinary differential equations, the expression of the antiderivatives is used to approximate the solution. Iterative refinement is performed. Both the proof for the convergence of the method and estimates of the convergence rate are given. To verify the reliability of the results, the programs used in numerical experiments are presented. Error estimates, results of the numerical experiment for stiff and non-stiff problems in models of physical and chemical processes, and for problems of planetary astronomy are presented. In all the experimentally considered cases, the proposed method has a relatively small error, differing in a fixed limit of error accumulation over a large solution interval.