При выборе численных методов для решения систем линейных алгебраических уравнений в первую очередь руководствуются такими параметрами, как точность (позволяет ли метод получить решение с требуемой точностью) и скорость (в зависимости от того, как быстро необходимо получить решение, оценивается единственный релевантный показатель – время на конкретной машине или возможность масштабируемости метода на большой вычислительный кластер). Обычно приходится выбирать компромисс между этими параметрами. Наравне с вышеперечисленным для выбора конкретного метода рассматривается структура матрицы (симметричная, плотная или разреженная, пластинчатая) и собственные значения (все ли они положительны, их сгруппированность, разброс величин). В том числе немаловажную роль играет реализация метода (не всегда удается найти для подходящего метода хорошую реализацию). Когда речь идет о системах уравнений больших размерностей, возникает вопрос о сходимости методов для таких систем. В связи с этим для осуществления оптимального выбора численного метода для решения систем линейных алгебраических уравнений возникает задача оценки различных методов для конкретной проблемы. В данной статье производится сравнительный анализ итерационного метода GMRES с прямым LU разложением при решении систем линейных алгебраических уравнений больших размерностей на плотных несимметричных матрицах квадратной формы. Для сравнения сходимости осуществляется нахождение погрешности полученных решений, высчитывается невязка решений рассматриваемых методов для всех выбранных в рамках статьи размерностей.

When choosing numerical methods for solving systems of linear algebraic equations, first of all, they are guided by such parameters as accuracy (does the method allow to obtain a solution with the required accuracy) and speed (depending on how quickly a solution is needed, the only relevant indicator is evaluated: time on a specific machine or the possibility of scalability of a method on a large computing cluster). Usually, it is necessary to choose a compromise between these parameters. The structure of the matrix (symmetric, dense or discharged, lamellar) and eigenvalues (whether they are all positive, their grouping, dispersion of values) are considered, equally with the above parameters, to select a specific method. Also, the important role is played by the implementation of the method (it is not always possible to find a good implementation for a suitable method). When it comes to systems of equations of large dimensions, the question on the convergence of methods for such systems appears. In this regard, to implement the optimal choice of a numerical method for solving systems of linear algebraic equations, the problem of evaluating various methods for a specific problem comes up. This article presents a comparative analysis of the iterative GMRES method with direct LU decomposition when solving systems of linear algebraic equations of large dimensions on dense asymmetric square matrices. For comparison of convergence, the error of the obtained solutions is found; the discrepancy between the solutions of the considered methods is calculated for all dimensions selected within the article.