Математическими образами периодических процессов в непрерывных динамических системах выступают замкнутые траектории (циклы) в соответствующем фазовом пространстве – пространстве состояний математической модели. В связи с этим возникает актуальная задача нахождения как устойчивых, так и неустойчивых циклов, а также анализ зависимости поведения динамических систем в целом от параметров. В данной статье на физическом уровне строгости проводится анализ автоколебательных режимов в генераторе, описываемом обобщенным уравнением Ван-дер-Поля. Рассматриваемая математическая модель описывает мягкий режим возбуждения генератора колебаний. При этом положение равновесия в начале координат будет неустойчивым, внутренний цикл – устойчивым и отвечать рабочему режиму генератора, а внешний цикл – неустойчивым и образовывать границу области притяжения устойчивого цикла. Используемый метод Ван-дер-Поля носит эвристический качественный характер и применяется для колебательных систем только с одной степенью свободы. Его использование в рассматриваемой задаче позволяет рассмотреть ряд вопросов бифуркационного анализа, связанных с взаимным расположением циклов на фазовой плоскости. Простая модификация рассматриваемой в статье модели позволяет провести анализ системы и с жестким возбуждением колебаний.

Mathematical images of periodic processes in continuous dynamic systems are closed trajectories (cycles) in the corresponding phase space – the space of States of the mathematical model. In this regard, there is an urgent problem of finding both stable and unstable cycles, as well as the analysis of the dependence of the behavior of dynamic systems on the parameters as a whole. In this article, the analysis of self-oscillating modes in the generator described by the generalized van der Pol equation is carried out at the physical level of rigor. The mathematical model describes the soft excitation mode of the oscillator. The equilibrium position at the origin will be unstable, the internal cycle-stable and correspond to the operating mode of the generator, and the external cycle – unstable and form the boundary of the region of attraction of the stable cycle. The van der Pol method used is of heuristic qualitative nature, and is used for oscillatory systems with only one degree of freedom. Its use in the considered problem allows us to consider a number of issues of bifurcation analysis related to the mutual arrangement of cycles on the phase plane. A simple modification of the model considered in the article allows to analyze the system with a rigid excitation of oscillations.