Очевидно, что трудности возникающие в применении теории вихревых течений, во многом обусловлены самой вычислительной процедурой нахождения собственных чисел оператора Орра – Зоммерфельда, который относится к несамосопряженным операторам. В работах авторов статьи разработан численный метод вычисления первых собственных чисел дискретных полуограниченных операторов, который получил наименование метод регуляризованных следов (РС). В статье описана методика использования этого метода РС для определения собственных чисел соответствующей краевой задачи. Напрямую применять метод РС к решению прямой задачи Орра – Зоммерфельда нельзя. Поэтому с вспомогательной целью нами была поставлена спектральная задача, в которой просматривается аналогия с задачей Орра – Зоммерфельда в части совпадения собственных чисел. Получены новые оценки регуляризованных следов дискретного оператора. Найдены формулы, по которым можно вычислить поправки теории возмущений необходимого порядка. Для проведения вычислительных экспериментов в среде математического пакета Maple написаны программы, позволяющие находить приближенные значения первых собственных чисел исследуемой задачи. Выбор математической среды Maple обусловлен тем, что при численной реализации разработанного алгоритма необходимо производить операции с действительными числами с большой мантиссой.
It is known that difficulties appearing in the linear theory of viscous fluid flow stability are much interconnected with computational problems of finding eigenvalues of non-self-adjoint operators including Orr-Sommerfeld operator. The numerical calculation method of the first eigenvalues of discrete semibounded operators has been developed in the works of the article authors. This method has been called regularized tracks method (RT). The technique of this method usage for findingapproximate values of the first eigenvalues of Orr-Sommerfeld boundary-value problem is described in the article. This method (RT) cannot be used directly to solve Orr-Sommerfeld direct task. Consequently the auxiliary spectral task has been built where the array of eigenvalues coincide with the array of eigenvalues of Orr-Sommerfeld task. New regularized tracks estimations of discrete operator have been obtained. Formulae to calculate amendments to the theory of necessary order perturbation have been found. For conducting calculation experiments in mathematical package medium Maple the programs that allow to find approximate values of the first eigenvalues of Orr-Sommerfeld spectral task have been written. The choice of mathematical medium Maple has been made due to the necessity to make operations with real numbers with large mantissa.
1. Кадченко С.И. Вычисление спектральных характеристик возмущенных самосопряженных операторов методами регуляризованных следов / С.И. Кадченко, С.Н. Какушкин // Дифференциальные уравнения. Спектральная теория. Итоги науки и техники. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 141, ВИНИТИ РАН. – М., 2017. – С. 61–78.
2. Кадченко С.И. Численные методы регуляризованных следов спектрального анализа: монография / С.И. Кадченко, С.Н. Какушкин. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2015. – 206 с.
3. Вычисление первых собственных чисел дискретного оператора / В.В. Дубровский [и др.] // Электромагнитные волны & электромагнитные системы. – 1998. – Т. 3, № 2. – С. 4–8.
4. Садовничий В.А. Замечание об одном новом методе вычисления собственных значений и собственных функций дискретного оператора / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Труды семинара им. И.П. Петровского. – 1994. – № 17. – С. 244–248.
5. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин. – М.: Маркер, 2010. – 275 с.
6. Лин Цао – цзяо. Теория гидродинамической устойчивости / Лин Цао – цзяо. – М.: Маркер, 2011. – 254 с.
7. Малеко Е.М. О резольвенте дискретного оператора и вычислении его спектра. Некоторые приложения: монография / Е.М. Малеко. – Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск, гос. тех. ун-та им. Г.И. Носова, 2017. – 143 с.
8. Штерн В.Н. Устойчивость плоского течения Куэтта / В.Н. Штерн. – Красноярск: СибГТУ, 2015. – 219 с.