В работе получено представление в виде степенных рядов функции восстановления (среднего числа отказов на промежутке от 0 до t) простого процесса восстановления, когда наработки до отказа восстанавливаемых (заменяемых) элементов распределены в виде смеси n функций распределения. При решении многих практических задач, возникающих при эксплуатации технических систем, у которых отказы имеют случайный характер, важное значение имеет знание функции восстановления – математического ожидания числа отказов за любое время от начала эксплуатации. Рассматриваются случаи смесей, состоящих из n характерных для теории надежности технических систем распределений Вейбулла – Гнеденко, Эрланга, Рэлея, нормальных, Максвелла соответственно. Указанные классические распределения не более чем одномодальны, что сужает их приложение в решении практических задач надежности технических систем. Смесь распределений позволяет описывать наработки элементов технических систем с полимодальными распределениями. Целью работы является представление функций восстановления для смесей ряда классических законов распределений наработок до отказа восстанавливаемых элементов. Полученные в работе функции восстановления расширяют сферу применения методов теории надежности при решении практических задач эксплуатации технических систем.
In paper obtained a representation in the form of power series of the recovery function (the average number of failures in the interval from 0 to t) of a simple recovery process, when the operating time to failure of the elements being recovered (replaced) is distributed as a mixture of n distribution functions. The paper considers the cases of mixtures consisting of the technical systems of Weibull-Gnedenko, Erlang, Rayleigh, normal, and Maxwell distributions typical of the reliability theory. These classical distributions are not more than one-dimensional. A mixture of distributions allows to describe the developments of elements of technical systems with multimodal distributions. The aim of the paper is to represent the recovery functions for mixtures of a number of classical laws of distributions of developments. The recovery functions in the work expand the sphere of application of the methods of reliability theory in solving practical problems of operating technical systems.
1. Байхельт Ф. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход: пер. с англ. / Ф. Байхельт, П. Франкен. – М.: Радио и связь, 1988. – 392 с.
2. Vainshtein V.I., Vainshtein I.I., Mikhal’chenko G.E. Optimization of the strategy of recovering technical systems with preventive recoveries. Journal of Machinery Manufacture and Reliability, 2015, vol. 44, no. 1, pp. 79–83.
3. О выборе стратегий эксплуатации технических систем / И.И. Вайнштейн [и др.] // Вестник Сибирского государственного университета им. акад. М.Ф. Решетнева. – 2015. – № 3 (54). – С. 645–650.
4. Вайнштейн И.И. Процессы и стратегии восстановления с изменяющимися функциями распределения в теории надежности / И.И. Вайнштейн. – Красноярск: СФУ, 2016. – 189 с.
5. Боровков А.А. Теория вероятностей / А.А. Боровков. – М.: Либроком, 2009. – 652 с.
6. Vaynshteyn I.I., Fedotova I.M., Tsibul’skiy G.M., Vaynshteyn Y.V. Renewal process and operation strategies in the theory of reliability of technical systems under prefailure lives distributed as a mixture of two exponential distributions. Journal of Machinery Manufacture and Reliability, 2017, vol. 46, no .2, pp. 84–90.
7. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложение / Н.Н. Лебедев. – М.: Лань, 2010. – 368 с.
8. Smith W.E., Leadbetter M.R. On the renewal function for the Weibull distribution // Technometrics. 1963. Vol. 5. pp. 363–396.
9. Вайнштейн В.И. Математическое и программное обеспечение оптимизации проведения профилактических восстановлений при эксплуатации информационно-вычислительных систем: дис. … канд. ф.-м. наук. – Красноярск, 2006. – 149 с.
10. Вайнштейн И.И. Представление функции восстановления в виде степенных рядов и их сходимость / И.И. Вайнштейн, О.О. Шмидт // Исследование в России. – 2008. – Т. 48. – С. 549–554.
11. Королев В.Ю. Вероятностно-статистические методы декомпозиции волатильности хаотических процессов / В.Ю. Королев. – М.: Издательство Московского университета, 2011. – 512 с.
12. Gorshenin A.K., Korolev V.Y., Tursunbaev A.M. Median modifications of the EM-algorithm for separation of mixtures of probability distributions and their applications to the decomposition of volatility of financial indexes. Journal of Mathematical Sciences, 2017, vol. 227, no.2, pp. 176–195.