В работе рассмотрена задача о напряженном состоянии неоднородного полубесконечного горного массива, состоящего из попарно чередующихся изотропных слоев, параллельных горизонтальной плоскости. В массиве имеется вертикальная цилиндрическая полость кругового поперечного сечения. С помощью метода усреднения исходная задача для неоднородного массива, уравнения которой содержат быстро осциллирующие коэффициенты, заменяется аналогичной задачей для однородной среды с постоянными (эффективными) коэффициентами. В то время как исходные слои являлись изотропными, полученная однородная среда представляет собой трансверсально-изотропный материал. Для определения напряжений было использовано имеющееся в литературе решение о напряженно-деформированном состоянии трансверсально-изотропного массива с вертикальной цилиндрической шахтой кругового поперечного сечения. В статье рассмотрены два случая: слои, составляющие массив, являются чисто упругими и упруго-ползучими. Упруго-ползучие слои описываются линейной интегральной моделью Больцмана – Вольтерра, в качестве ядер которой выбраны экспоненциальные функции, содержащие две константы. Применение преобразования Лапласа сводит данную задачу к задаче теории упругости с коэффициентами, зависящими от параметра. Получено решение поставленной задачи в аналитическом виде для нескольких типов граничных условий на поверхности шахты.
The problem of the stressed state of an inhomogeneous semi-infinite rock consisting of pairwise alternating isotropic layers parallel to the horizontal plane is considered. The array has a vertical cylindrical cavity of circular cross section. We used the averaging method. As a result, the initial problem for an inhomogeneous array in which the equations contain rapidly oscillating coefficients is replaced by an analogous problem for a homogeneous medium with constant (effective) coefficients. While the original layers were isotropic, the resulting homogeneous medium is a transversely isotropic material. In the literature there is a solution for the stress-strain state of a transversally isotropic massif with a vertical cylindrical shaft of circular cross section. It was used. Two cases are considered in the article: the layers composing the array are purely elastic and elastic-creeping. Elastic-creeping layers are described by Boltzmann-Volterra linear integral model. The creep kernels are exponential functions depending on two parameters. The application of the Laplace transform reduces this problem to the problem of elasticity theory with coefficients depending on the parameter. The solution of the problem is obtained in the analytical form for several types of boundary conditions on the surface of the shaft.
1. Олейник О.А. Математические задачи теории сильно неоднородных сред / О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян, А.С. Шамаев. – М.: Изд-во МГУ, 1990. – 311 с.
2. Ильюшин А.А. Основы математической теории термовязко-упругости / А.А. Ильюшин, Б.Е. Победря. – М.: Наука, 1975. – 281 с.
3. Андреев В.И. Механика неоднородных тел / В.И. Андреев. – М.: Юрайт, 2015. – 255 с.
4. Шамаев А.С. О спектре одномерных колебаний в периодической комбинированной слоистой среде / А.С. Шамаев, В.В. Шумилова // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. – 2011. – № 4 (4). – С. 1882–1883.
5. Шамаев А.С. Прохождение плоской звуковой волны через слоистый композит с компонентами из упругого и вязкоупругого материалов / А.С. Шамаев, В.В. Шумилова // Акустический журнал. – 2015. – Т. 61, № 1. – С. 10–20.
6. Савенкова М.И. Применение метода осреднения в задаче упругопластического изгиба пластины / М.И. Савенкова, С.В. Шешенин, И.М. Закалюкина // Вестник МГСУ. – 2012. – № 9. – С. 156–164.
7. Савенкова М.И. Сравнение результатов конечно-элементного анализа с результатами асимптотического метода осреднения в задаче упругопластического изгиба пластины / М.И. Савенкова, С.В. Шешенин, И.М. Закалюкина // Вестник МГСУ. – 2013. – № 8. – С. 42–50.
8. Шамаев А.С. Асимптотическое поведение спектра одномерных колебаний в среде из слоев упругого материала и вязкоупругого материала Кельвина – Фойгта / А.С. Шамаев, В.В. Шумилова // Современные проблемы механики: сборник статей. Труды МИАН. – М.: МАИК «Наука/Интерпериодика», 2016. – Т. 295. – С. 218–228.
9. Шамаев А.С. Усреднение уравнений состояния для гетерогенной среды, состоящей из слоев двух ползучих материалов / А.С. Шамаев, В.В. Шумилова // Современные проблемы механики: сборник статей. Труды МИАН. – М.: МАИК «Наука/Интерпериодика», 2016. – Т. 295. – С. 229–240.
10. Bobyleva T.N. An Efficient Algorithm for Calculating Rheological Parameters of Layered Soil Media Composed from Elastic-Creeping Materials / T.N. Bobyleva, A.S. Shamaev // Soil Mechanics and Foundation Engineering. – 2017. – V. 54(4). – P. 224–230.
11. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий. – М.: Наука, 1977. – 416 с.
12. Bobyleva T. Approximate Method of Calculating Stresses in Layered Array / T. Bobyleva // Procedia Engineering. – 2016. – № 153. – P. 103–106.