Необходимость решения прикладных задач в реальном масштабе времени определяет интерес к разработке методов оптимизации с гарантийными оценками трудоемкости вычислений, а также дает возможности повышения эффективности известных методов путем их модификации. Методы симплексного типа остаются по-прежнему основными для решения задач линейного программирования, в связи с этим в теории и практике решения задач математического программирования относительно мало уделяется внимания исследованию вычислительной сложности решения задач линейного программирования другими методами. Целью данной работы является обоснование модификации метода проекции градиента, эквивалентной методу наискорейшего спуска, и дальнейшей модификации с целью ускорения сходимости модифицированного метода к решению задачи линейного программирования. Показано, что метод проекции градиента при изменении правила выбора проектирующей матрицы на очередной итерации позволяет определить наилучшее направление движения по границе множества допустимых решений, которое совпадает с направлением наискорейшего спуска. Представлены эффективные допустимые направления, являющиеся существенными при реализации модифицированного метода проекции градиента. Сделан вывод о том, что предложенный подход синтеза методов градиентного спуска и симплексного типа в линейном программировании при незначительном увеличении вычислительной сложности компенсируется существенным уменьшением общего количества итераций.
The need to solve applied problems in real time determines the interest in the development of optimization methods with warranty estimates of the laboriousness of computations, and also look for ways to improve the efficiency of known methods by modifying them. Simplex methods remain basic for solving linear programming problems, therefore, in theory and practice of solving problems of mathematical programming, relatively little attention is paid to the study of the computational complexity of solving linear programming problems by other methods. The purpose of this paper is to substantiate the modification of the gradient projection method, equivalent to the steepest descent method, and further modification in order to accelerate the convergence of the modified method to solving the linear programming problem. It is shown that the gradient projection method when changing the selection rule of the projecting matrix to the next iteration allows us to determine the best direction of motion along the boundary of the set of admissible solutions, which coincides with the direction of steepest descent. Effective permissible directions are presented that are essential for implementing the modified method of gradient projection. The conclusion is made that the proposed approach to synthesis of gradient descent and simplex type methods in linear programming with an insignificant increase in computational complexity is compensated by a significant decrease in the total number of iterations.
1. Фам С.Ф., Цибизова Т.Ю. Методы построения математических моделей: генетические алгоритмы // Достижения вузовской науки. Труды международной научно-практической конференции. – М.: Изд-во МГОУ, 2014. – С. 158–162.
2. Хачиян Л.Г. Полиномиальные алгоритмы в линейном программировании // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1980. – Т. 20, № 1. – С. 51–68.
3. Батенков А.А., Батенков К.А., Яковлев А.В. Разработка алгоритма декодирования Евклидова кода на основе симплексного базиса // Информационные системы и технологии. – 2010. – № 3 (59). – С. 134–142.
4. Саушев А.В. Сеточный метод построения областей работоспособности технических объектов на основе алгоритма симплексного поиска // Журнал университета водных коммуникаций. – 2010. – № 1. – С. 58–69.
5. Моисеев О.В., Яковлев А.В. Алгоритм приема большого ансамбля сложных сигналов на основе симплексного базиса // Телекоммуникации. – 2012. – № 4. – С. 13–19.
6. Цибизова Т.Ю., Карпунин А.А. Применение метода анализа иерархий в оценке качества процессов управления // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 2.
7. Черняев Ю.А. Сходимость метода проекции градиента для одного класса невыпуклых задач математического программирования // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2005. – № 12. – С. 76–79.
8. Безряков В.В., Крыжановский Г.А., Солодухин В.А. Прямые и обратные задачи оптимизации управления потоками воздушного движения в районе аэродрома // Научный вестник Московского государственного технического университета гражданской авиации. – 2011. – № 171. – С. 109–113.
9. Тимофеев П.А., Ягудаев Г.Г., Горячкин Б.С., Строганов Д.В. Алгоритм управляемого имитационного процесса в системах массового обслуживания // Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии. – 2011. – № 3. – С. 62–70.
10. Мясников Е.А. Нелинейное и динамическое программирование: уч. пособие. – Хабаровск: Изд-во Хабаровская гос. акад. экономики и права, 2011. – 139 с.
11. Перепелкин Е.А. Задача параметрического синтеза многосвязной динамической системы как задача нелинейного программирования // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. – 2008. – № 1. – С. 23–27.
12. Гусев М.И. Метод динамического программирования в задаче построения множеств достижимости нелинейных управляемых систем // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. – 2012. – № 1. – С. 42–43.