Настоящая работа посвящена вопросам построения с помощью дробного исчисления класса математических моделей эредитарных колебательных систем. Эредитарные колебательные системы – это колебательные системы, обладающие последействием или «памятью». Математическое описание таких колебательных систем характеризуется интегро-дифференциальными уравнениями с ядрами, которые называются функциями памяти. Если эти функции имеют степенной вид, то мы можем записать интегро-дифференциальные уравнения в терминах производных дробных порядков. В общем случае математические модели эредитарных колебательных систем не имеют аналитического решения, поэтому с помощью теории конечно-разностных схем были разработаны численные алгоритмы их решения. Проведен анализ предложенных численных алгоритмов с помощью компьютерных экспериментов. Показана сходимость предложенных конечно-разностных схем. С помощью численных алгоритмов были построены осциллограммы и фазовые траектории различных эредитарных колебательных систем в зависимости от различных значений управляющих параметров.
This paper deals with the issues of building by means of fractional calculus class of mathematical models hereditarity oscillatory systems. Hereditarity oscillatory systems – this oscillatory systems with aftereffect or «memory». The mathematical description of these oscillatory systems is characterized by the integral-differential equations with kernels, which are called memory functions. If these functions have a power-law form, then we can write the integral-differential equation in terms of the derivatives of fractional order. In general, the mathematical models hereditarity vibration systems do not have analytical solutions so with the help of the theory of finite difference schemes, numerical algorithms for solving them have been developed. The analysis of the proposed numerical algorithms, computational experiments. The convergence of the proposed finite difference schemes. waveform and phase trajectories hereditarity different vibration systems, depending on the different values of the control parameters have been constructed using numerical algorithms.
1. Дробышева И.В. Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов на примере осциллятора Дуффинга с дробными производными в смысле Римана-Лиувилля // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. – 2016. – № 2(13). – С. 43–49.
2. Ким В.А. Осциллятор Дуффинга с внешним гармоническим воздействием и производной переменного дробного порядка Римана-Лиувилля, характеризующая вязкое трение // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. – 2016. – № 2(13). – С. 50–54.
3. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его приложения. – М.: Физматлит. 2003. – 272 с.
4. Паровик Р.И. Математическое моделирование линейных эредитарных осцилляторов. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга. 2015. – 178 с.
5. Паровик Р.И. Математическое моделирование нелокальной колебательной системы Дуффинга с фрактальным трением // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. – 2015. – № 1(10). – С. 18–24.
6. Паровик Р.И. Эредитарный осциллятор Дуффинга с переменными дробными порядками // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ». – 2016. – Т. 8, – № 5. http://naukovedenie.ru/PDF/34TVN516.pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. Яз. рус., англ.
7. Паровик Р.И. Математическое моделирование фрактального осциллятора Ван-дер-Поля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. – 2015. – Т. 17, № 2. – С. 57–62.
8. Паровик Р.И. О численном решении уравнения фрактального осциллятора с производной дробного переменного порядка от времени // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. – 2014. – № 1(8). – С. 60–65.
9. Рехвиашвили С. Ш. Размерные явления в физике конденсированного состояния и нанотехнологиях. – Нальчик: КБНЦ РАН, 2014. – 250 с.
10. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977. – 656 с.
11. Учайкин В.В. Метод дробных производных. – Ульяновск: Артишок. 2008. – 512 с.
12. Duffing G. Elastizit at und Reibung beim Riementrieb // Forschung auf dem Gebiet des Ingenieurwesens A. – 1931. – Vol. 2, № 3. – P. 99–104.
13. Diaz G., Coimbra C.F.M. Nonlinear dynamics and control of a variable order oscillator with application to the van der Pol equation // Nonlinear Dyn. – 2009. – vol. 56. – Р. 145–157.
14. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier. 2006. – 523 p.
15. Leitman M.J., Mizel V.J. Hereditary Laws and Nonlinear integral Equations on the Line // Advances in mathematics. – 1976. – Vol. 22. – Р. 220–266.
16. Liu F., Zhuang P., Anh V., Turner I. A fractional order implicit difference approximation for the space-time fractional diffusion equation // ANZIAM J. – 2006. – № 47. – Р. C48–C68.
17. Li Ch., Chen A., Ye J. Numerical approaches to fractional calculus and fractional ordinary differential equation // Journal of Computational Physics. – 2011. – Vol. 230 – Р. 3352–3368.
18. Miller K.S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. New York: A Wiley-Interscience publication. 1993. – 384 p.
19. Machado J. A. T. et al. Fractional order dynamical systems and its applications. Brazilian Conference on Dynamics, Control and Their Applications, 2007. – 40 p.
20. Makarov D.V., Parovik R.I. Modeling of the economic cycles using the theory of fractional calculus // Journal of Internet Banking and Commerce. – 2016. – vol. 21. – № S6. – 014.
21. Oldham K.B., Spanier J. The fractional calculus. Theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order. London: Academic Press. 1974. – 240 p.
22. Parovik R.I. Mathematical modeling of radon sub diffusion into the cylindrical layer in ground // Life Science Journal. 2014. – vol. 11. – № 9s. – Р. 281-283.
23. Parovik R.I., Shevtsov B.M. Radon transfer processes in fractional structure medium // Mathematical Models and Computer Simulations. – 2010. – vol. 2. – № 2. – Р. 180–185.
24. Parovik R.I. Explicit finite-difference scheme for the numerical solution of the model equation of nonlinear hereditary oscillator with variable-order fractional derivatives // Archives of Control Sciences. – 2016. – vol. 26. – № 3. – Р. 429–435.
25. Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems: Modeling, Analysis and Simulation. New York: Springer. 2011. – 218 p.
26. Rossikhin Y.A., Shitikova M.V. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: novel trends and recent results // Applied Mechanics Reviews. – 2010. – Т. 63. – № 1. – 010801.
27. Seredynska M., Hanyga A. Nonlinear differential equations with fractional damping with applications to the 1dof and 2dof pendulum // Acta Mechanica. – 2005. – vol. 176. – № 3–4. – С. 169–183.
28. Syta A., Litak G., Lenci S., Scheffler M. Chaotic vibrations of the Duffing system with fractional damping // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. – 2014. – vol. 24. – № 1. – 013107.
29. Shen S., Liu F. Error analysis of an explicit finite difference approximation for the space fractional diffusion equation with insulated ends // ANZIAM J. – 2005. – № 46(E). – Р. C871–887.
30. Scholz Ch. H. The mechanics of earthquakes and faulting. Cambridge university press, 2002. – 471 p.
31. Usmonov B. A numerical solution of hereditary equations with a weakly singular kernel for vibration analysis of viscoelastic systems // Proceedings of the Latvian academy of sciences. Section B. – 2015. – Vol. 69, № 6 (699). – Р. 326–330.
32. Volterra V. Sur les equations int egro-diff erentielles et leurs applications // Acta Mathematica. – 1912. – Vol. 35, № 1. – Р. 295–356.