Настоящая статья посвящена исследованию вопроса однозначной разрешимости нелокальной задачи с операторами дробного в смысле Римана – Лиувилля дифференцирования в краевом условии для вырождающегося гиперболического уравнения в характеристическом двуугольнике. Сформулирована корректная краевая задача со смещением для уравнения Бицадзе – Лыкова. При определенных ограничениях неравенственного типа на известные функции и порядки дробных производных методом интегралов энергии доказана теорема единственности. Методом интегральных уравнений Трикоми вопрос существования решения задачи эквивалентно редуцирован к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения второго рода с ядром Коши. Выписано условие, гарантирующее существование регуляризатора, приводящего сингулярное интегральное уравнение к уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения задачи. Установлено влияние на корректность постановки задачи порядков дробных производных в краевом условии и их связь с порядком вырождения уравнения.
This article is devoted to the study of the question of unique solvability of nonlocal problems with operators of fractional Riemann – Liouville sense of differentiation in the boundary condition for a degenerate hyperbolic equation in the characteristic lune. It formulated the correct boundary value problem with shift for an equation Bitsadze – Lykov. Under certain restrictions on the type neravenstvennogo known functions and order fractional derivatives by energy integrals proved the uniqueness theorem. The method of integral equations of Tricomi problem of existence of solutions of the problem is reduced to the equivalent question of the solvability of a singular integral equation of the second kind with a Cauchy kernel. Write down the conditions guaranteeing the existence regularizes leading singular integral equation to a Fredholm equation of the second kind, which is unconditional solvability follows from the uniqueness of the solution of the problem. The effect on the correct formulation of the problem of fractional – order derivative in the boundary condition and their relationship with the degeneration of the equation order.
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 448 с.
2. Водахова В.А., Яхутлова М.Р., Тлимахова Р.Г. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения // Современные наукоемкие технологии. – 2016. – № 2–3. – С. 416–420.
3. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. – М.-Л., 1953. – 379 с.
4. Лыков А.В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена // Инженерно-физичский журнал. – 1965. – Т. 9. – № 3. – С. 287–304.
5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968. – 511 с.
6. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. – М.: Наука, 2006. – 287 с.
7. Репин О.А., Кумыкова С.К. Краевая задача с операторами Сайго для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2015. – № 7. – С. 49–57.
8. Репин О.А., Кумыкова С.К. Нелокальная задача с обобщенными операторами дробного дифференцирования для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2015. – № 4. – С. 60–64.
9. Репин О.А., Кумыкова С.К. Об одной нелокальной задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Дифференциальные уравнения. – 2015. – Т. 51. – № 6. – С. 755–763.
10. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.