В статье исследуется математическая модель, описывающая нестационарное движение несжимаемой вязкоупругой жидкости типа Олдройда в трехмерной ограниченной области с твердыми непроницаемыми стенками. В уравнении состояния используется полная производная. Важной особенностью рассматриваемой модели является то, что на границе области течения вместо классического условия прилипания задано условие проскальзывания Навье (свободное проскальзывание). Это условие определяет связь между скоростью скольжения жидкости и силой, действующей на жидкость со стороны межфазной границы «жидкость – твердое тело». Для соответствующей эволюционной задачи вводится понятие обобщенного решения в классе подходящих функциональных пространств и обсуждается алгоритм нахождения решений по методу Фаэдо–Галеркина. Основной результат работы – получение аналога теоремы Сэзера–Серрина о единственности, регулярности и энергетической оценке глобального обобщенного решения.
This paper is concerned with a mathematical model describing unsteady flows of an incompressible viscoelastic fluid of the Oldroyd kind in a three-dimensional bounded domain with solid impermeable boundaries. In the constitutive law, we use the total derivative. An important feature of the problem under consideration is that Navier’s slip law (the free-slip condition) at the solid surface is used instead of the classical no-slip condition. This law gives a relation between the slip velocity and the force acting on the fluid from the interphase boundary of liquid-solid. For the corresponding evolution problem we introduce the concept of generalized solutions in a class of suitable function spaces. The paper discusses an algorithm for finding solutions by the Faedo–Galerkin method. Our main result is an analogue of the Sather–Serrin theorem on the uniqueness, regularity and energy estimates of global generalized solutions.
1. Астарита Дж., Маруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. – М.: Мир, 1978. – 312 с.
2. Барановский Е.С. О стационарном движении вязкоупругой жидкости типа Олдройда // Математический сборник. – 2014. – Т. 205, № 6. – C. 3–16.
3. Барановский Е.С. Задача оптимального управления стационарным течением среды Джеффриса при условии проскальзывания на границе // Сибирский журнал индустриальной математики. – 2014. – Т. 17, № 1. – C. 18–27.
4. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, 2-е изд. – М.: Наука, 1970. – 288 с.
5. Раджагопал К.Р. О некоторых нерешенных проблемах нелинейной динамики жидкостей // Успехи математических наук. – 2003. – Т. 58, № 2. – C. 111–121.
6. Темам Р. Уравнения Навье–Стокса. Теория и численный анализ. – М.: Мир, 1981. – 408 с.
7. Турганбаев Е.М. Начально-краевые задачи для уравнений вязкоупругой жидкости типа Олдройда // Сибирский математический журнал. – 1995. –Т. 36, № 2. – С. 444–458.
8. Adams R.A., Fournier J.J.F., Sobolev Spaces, vol. 40 of Pure and Applied Mathematics. Amsterdam: Academic Press, 2003. – 305 p.
9. Artemov M.A., Baranovskii E.S. Initial boundary value problems for viscoelastic Jeffreys fluids // Applied Mathematical Sciences. – 2015. – Vol. 9, № 121. – P. 6049–6060.
10. Artemov M.A., Baranovskii E.S. Mixed boundary-value problems for motion equations of a viscoelastic medium // Electronic Journal of Differential Equations. – 2015. – Vol. 2015, № 252. – P. 1–9.
11. Saut J.-C. Lectures on the mathematical theory of viscoelastic fluids // Morningside Lectures in Mathematics, Volume III. Lectures on the Analysis of Nonlinear Partial Differential Equations: Part 3. Somerville, Massachusetts: International Press, 2013. – P. 325–393.
12. Serrin J. The initial value problem for the Navier–Stokes equations // Non-linear Problems, R. E. Langer editor. – University of Wisconsin Press, 1963. – P. 69–98.