Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

ABOUT TEACHING THE DISCIPLINE «MATHEMATICAL MODELING OF PROCESSES IN NATURE COMPONENTS» IN KUBAN STATE AGRARIAN UNIVERSITY NAMED AFTER I.T. TRUBILIN

Safronova T.I. 1 Prikhodko I.A. 1
1 Kuban State Agrarian University named after I.T. Trubilin
Mathematical education is an important part of the system of fundamental training of a modern specialist. One of the main problems of mathematical education is the organization of students’ independent work and the development of skills in working with special literature. The relevance of mastering the discipline «Mathematical modeling of processes in the components of nature» in the framework of the educational program in the field of preparation 04/20/02 Environmental management and water use is determined by the requirements of the federal state educational standard of higher education – to form knowledge and skills of using decision-making methods in the formation of the structure in the process of studying this academic discipline natural and technogenic complexes. Having mastered the discipline, the student will be able to apply knowledge of mathematical modeling of processes to solve practical problems in the field of land reclamation, land reclamation and conservation, and the operation of water management systems and equipment. The article presents the problem considered at lectures and practical classes with undergraduates about soil desalinization at three stages of washing and the parameters of the normal distribution are estimated. The considered examples help to solve the problem of motivation for in-depth study of the discipline and to form students’ systematic and solid knowledge. The authors emphasize that the use of professionally oriented tasks in the educational process can improve the level of mathematical preparation.
mathematical education
modeling
groundwater level
normal distribution

Важным условием успешного обучения является интерес студентов к изучаемым темам, ходу обучения и его результату. Поэтому надо научить студента учиться, так как общественные изменения и технический прогресс будут заставлять их исследовать конкретные реальные явления [1; 2]. Вопрос об организации самостоятельной работы студентов встает по-новому в связи с внесением этой формы обучающей студента деятельности в государственный образовательный стандарт.

Цель исследования: надо ориентировать студента на приобретение необходимых знаний не только общением с преподавателем, но и самостоятельной познавательной деятельностью и саморазвитием личности.

Новые учебные планы предусматривают выделение значительного числа часов на самостоятельную работу студентов. Отсюда проблема математического обеспечения такой работы.

Материалы и методы исследования

Увеличивающийся объём информации и сокращение времени на её осмысливание требует от преподавателей пересмотра концепций заданий. Задачи с производственным содержанием способствуют качественному изменению знаний, повышению уровня математической культуры студентов [3; 4].

Результаты исследования и их обсуждение

Приведем примеры используемых задач при преподавании дисциплины «Математическое моделирование процессов в компонентах природы» в рамках образовательной программы по направлению подготовки 20.04.02 «Природообустройство и водопользование» в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего образования «Кубанский государственный аграрный университет имени И.Т. Трубилина».

Задача 1.

Уровень грунтовых вод зависит от антропогенного воздействия, осуществляемого на мелиорируемых территориях. Величина водоподачи и интенсивность дренажного стока влияют на накопление солей в зоне аэрации. Следовательно, уровень грунтовых вод можно рассматривать как функцию этих двух факторов. Оценка оптимальности уровня грунтовых вод и рассоления грунта – основные задачи мелиоративной службы [5; 6].

Задачу рассоления грунта при промывке будем рассматривать в предположении одномерности фильтрационного и солевого потоков. Граница насыщения продвигается в ненасыщенный грунт, который будем считать сухим. В области фильтрации происходит растворение солей твердой фазы и вытеснение засоленного раствора в лежащие ниже слои грунта. На поверхность почвы налит слой воды, который проникает в почву. При этом вблизи поверхности образуется зона насыщения [7; 8].

Рассматриваем три стадии промывки. Первая начинается с момента возникновения зоны насыщения у поверхности почвы и продолжается до тех пор, пока движущаяся граница не достигнет водоупора или поверхности грунтовых вод. Продолжительность первой стадии на практике небольшая. Однако она оказывает существенное влияние на формирование начального профиля засоления почвы [9]. На этой стадии испарением почвы можно пренебречь, так как оно происходит только с водной поверхности и не вызывает восходящих потоков в толще грунта. На второй стадии процессы происходят в полностью насыщенной зоне, размеры которой не изменяются. Длительность второй стадии определяется временем t2 – t1. С момента t2 начинается третья стадия, когда происходит опускание свободной поверхности в глубь почвы, обусловленное испарением со свободной поверхности и оттоком воды в нижележащие слои грунта.

Процессы массопереноса, происходящие на трех стадиях промывки, описываются системой дифференциальных уравнений в частных производных, которые в одномерном случае для однокомпонентного засоления принимают вид

safr01.wmf (1)

safr02.wmf safr03.wmf (2)

safr04.wmf (3)

Уравнение кинетики растворения соли можно представить в виде

safr05.wmf (cН – с)Nn, n = 0; 0,5; 1. (4)

Пористость m фильтрующего вещества предполагается линейно зависящей от давления p: m = m0 + βгр(p – p0), где βгр – коэффициент сжимаемости пласта, m0 – пористость при начальном давлении р0.

Уравнения (1), (2) можно переписать в виде

safr06.wmf (5)

Воспользовавшись зависимостями между пористостью и давлением, напором и давлением, перепишем последнее уравнение

safr07.wmf (6)

где safr08.wmfβгр; safr09.wmf; safr10.wmfгрHg – – ρβгрgx.

Решение уравнений (1)–(5) ищем в области

safr12.wmf

где Yi (i = 1, 2, 3) – области, соответствующие различным стадиям промывки.

Пусть S(t) – координата границы зоны насыщения. Для решения системы необходимо задать начальные и краевые условия, которые зависят от стадии промывки.

На первой стадии на верхней границе задается значение напора как функции времени

safr13.wmf (7)

Нижняя граница является движущейся свободной поверхностью. Следовательно, на ней напор является функцией координаты границы

safr14.wmf (8)

Кроме того, на движущейся границе ставится второе условие, связывающее скорость движения границы с градиентом напора. Это условие вытекает из закона сохранения массы

safr15.wmf (9)

Считая концентрацию соли спр в промывной воде величиной постоянной, записываем уравнение конвективной диффузии на поверхности почвы

safr16.wmf safr17.wmf (10)

Из закона сохранения массы условие на границе S(t) следующее

safr18.wmf (11)

При переходе со второй стадии промывки на третью граничные условия на нижней границе области не изменяются. На третьей стадии для уравнения фильтрации на опускающейся верхней свободной поверхности ставятся два условия

safr19.wmf (12)

Функция q(t) характеризует величину испарения со свободной поверхности. Для уравнения диффузии в точке S(t) (точка верхней свободной поверхности) ставится условие, аналогичное условию для первой стадии промывки.

На первой стадии промывки систему (3)–(5) решаем в области

safr20.wmf

при краевых условиях и начальных условиях

safr21.wmf (13)

На второй стадии промывки система (1.3)–(1.5) решается в области

safr22.wmf

при краевых условиях (7), (10).

При этом за начальные условия принимаются значения, полученные после первого периода промывки.

На третьей стадии промывки G3 == {S(t) ≤ x ≤ l, t2 ≤ t ≤ T} при x = S(t), x = 0 рассматриваются условия (13) и при x = S(t) задаются условия вида (12).

За начальные условия берутся значения напора и концентрации с предыдущего периода промывки.

Задача 2.

Для показателей многих свойств горных пород (коэффициентов пористости, влажности) эмпирические кривые распределения можно описывать кривой нормального распределения. Выполним оценку параметров нормального распределения.

Запишем плотность вероятностей рx(х | q) нормального распределения

safr23.wmf (14)

Рассмотрим оценку параметров нормального распределения а (математическое ожидание) и D (дисперсия).

Логарифмируя рx(а, D), получим

safr24.wmf (15)

Отсюда

safr25.wmf

safr26.wmf (16)

и поэтому элемент Iaa информационной матрицы равен

safr27.wmf (17)

Далее

safr28.wmf

и поэтому

safr29.wmf

так что IaD = 0.

Наконец,

safr30.wmf

safr31.wmf

так что

safr32.wmf

и поэтому

safr33.wmf

Таким образом, информационная матрица имеет вид safr34.wmf

Матрица, обратная информационной, равна safr35.wmf

Поэтому минимальные вариации оценок параметров а и D равны

safr36.wmf

safr37.wmf

Приступим к построению оценок. Имеется выборка safr38.wmf. Так как

safr39.wmf

то логарифм функции правдоподобия имеет вид

safr40.wmf=

safr41.wmf

Далее для нахождения оценок safr42.wmf и safr43.wmf параметров а и D находим частные производные safr44.wmf safr45.wmf, приравниваем их нулю и составляем систему уравнений

safr46.wmf

Из которой получаем safr47.wmf,

safr48.wmf

Эти значения аргументов дают оценки неизвестных параметров а и D

safr49.wmf (18)

safr50.wmf (19)

Оценку safr51.wmf параметра а обычно обозначают как т.

Заключение

Дисциплина «Математическое моделирование процессов в компонентах природы» способствует подготовке будущих специалистов к успешной профессиональной деятельности.

Современное профессиональное образование немыслимо без математического, так как именно оно закладывает фундамент дальнейшего интеллектуального совершенствования, развивает гибкость мыслительной деятельности. При этом требуется организация такого обучения, которое обеспечивало бы переход учебной деятельности в профессиональную, т.е. обучение, способствующее овладению профессионально-прикладной математической компетентностью.

Потому необходимо развивать методическое обеспечение образовательного процесса, готовить к занятиям индивидуальные и дифференцированные задания для студентов. Подготовленные задания приобщат студентов к научно-исследовательской работе, повысят качество их математического образования.